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    2022-11-9 10:59
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    昨日, 张益唐现身北大,在B站的直播平台上,给广大网友上了一堂大师级数学课,而授课内容就是:关于朗道-西格尔零点猜想问题。(文末附有B站直播录制地址) 此前有熟知数学的网友评价,如果该成果被证实,张益唐有望成为“前后50年最伟大的数学家,没有之一”,并将改写数学历史!(可参看内容《震撼!华裔数学家被曝已证明黎曼猜想,或成为近50年最伟大的数学家》) 本文是关于 张益唐直播讲解朗道-西格尔零点猜想问题证明的全网最全详细解析, 你看懂了吗?欢迎在文末留言讨论~ 找传感器---上传感器专家网 (sensorexpert.com.cn)专注于传感器技术领域,拥有千万级产品,行业最活跃供需匹配平台,基于传感器产品与技术,对广大电子制造从业者与传感器制造者提供精准的匹配与对接,致力于对全球前沿市场动态、技术趋势与产品选型进行专业垂直的服务,是国内领先的传感器产品查询与媒体信息服务平台。 一支马克笔,一张小白板。 刚刚,张益唐教授现身北大,在B站的直播平台上,给广大网友上了一堂大师级数学课。 授课内容大家都知道了,就是最近张教授刚刚取得的新突破:朗道-西格尔零点猜想问题。 这是张益唐亲自对自己前不久的那篇论文的全面解析。 全程40分钟,无废话无尿点,硬核知识拉满,信息密度极大。 文字实录 首先,我得介绍一下这个问题本身。 虽然我的论文已经挂到aXiv上了,但还是得介绍一下:什么叫朗道-西格尔零点呢? 对于这个狄利克雷L函数,L(s,χ)的原始定义是这样的: 分子是χ(n)这个值,分母就是n的s次方。 此时,我们只考虑s是个实数的时候,也就是说s=1的时候,它不等于0。那么s<1的时候,就是说比1稍微小一点, 它有没有可能等于0? 这个问题因为牵扯到很多数论的东西,所以很重要,但始终没有人能够解决。 只考虑L(s,χ)不等于0的情况—— 如果s比1稍微小一点,这个分母是比较可控的,c是个常数 这是一个猜想,我们说这个猜想比黎曼假设要弱得多,至少是对L函数的黎曼猜想(广义黎曼猜想)。广义黎曼猜想是说这个S的实部大于1/2的话不等于0,但就只是很接近1的时候不等于0。 这个猜想本质上说就是朗道-西格尔零点问题。 这个问题,就是要证明这样的一类零点是不存在的(尤其是实零点,虚零点还容易一点)。 那么现在我们能做到什么程度呢?应该说本质上我们至少证明了这样一个东西 这个2024就像孪生素数里面的情况一样,是可以改进的。 前两天消息刚传出来的时候,很多人不是做数学的,所以不理解这个朗道-西格尔零点问题解决的是什么,甚至有人以为就是证明了黎曼假设是错的。 这个我得说一句:我可没有这个本事(笑)。我只是在一定范围内部分地证明了黎曼假设应该是对的。如果说我推翻了黎曼假设,那应该是没什么人会相信。 在这篇论文第二节的结尾,我引进了三个proposition,都是不等式。这三个不等式合在一起后,如果说朗道-西格尔零点存在的话,就可以得出一个矛盾。 而这个讲起来就是一个非常非常复杂的东西,要讲清楚也不容易,但是我可以讲一讲,这里面它的一个基本思路,讲一下它最后的归结。最后就是归结到这样一个事情上—— 怎么会归结到这个事情上呢? 对于一个有限的实数序列χn,怎么样证明它并不是非负的? 这就是要去证明其中有一个(至少有一个)χn是小于0的。 说起来这个问题是什么呢?有点不着边际。 但事实上很有意思,在数论中,特别是解析中,很多东西可以归结到这么一个问题。 于是我们就需要发展一个技巧,来证明这个东西是不等于0的。 第一个例子,我们就说一个偶数N(一个比较大的偶数),我们用ρ(n)定义这个素数的特征函数,都是定义在正整数上。 如果n是素数,ρ(n)等于1,如果n不是素数,ρ(n)就等于0。 就可以得到 我们说这个序列会什么样? 一般情况下,它可能等于1,也可能等于0, 但它有没有可能是负的呢? 很明显如果ρ(n)是负的,它必须等于-1,而且他负的充要条件是ρ(n)和ρ(N-n)都是素数。这时候χn才可能是负的,正好等于-1。 很明显,N永远是等于n+(N-n),也就是N就是一个素数加上另外一个素数。 就是说如果在这个序列(1<n<N)里,有某一个χn是小于0的话,充要条件是N是两个素数的和。 所以哥德巴赫猜想最后就可以归结到我们来构建这样一个有限序列,这里头是不是有这么一个小于0的数?如果有的话,哥德巴赫猜想就是对的。 那么,是不是还有别的问题也是这样呢? 其实假如我们对孪生素数猜想给出一个弱结果,那么也会是这样的,也就是造成这么一个χn。 它这个定义也是 如果这里面有两个是素数,那么χn就严格小于0;如果只有一个素数,那么就等于0;如果没有就大于0。 所以在这样一个序列里面,我们可以人为地把n的范围给它确定,里面有没有负的?这就是我们在孪生素数研究下取得的突破。我们的出发点就是这个东西。 话再说回来,怎么样去证明某一个χn是小于0,我们就给出了一个很简单的数列,哪怕里面有10000个数,我们也可以写出来这里面是不是有一个是负的,这很简单。 但我们这里考虑的都是理论性的问题,N是一个很大的数,怎么样去定义这个东西等于0。 这是第一个例子。实际上它既包括了哥德巴赫猜想,也包括了孪生素数弱结果的研究。 第二个例子是一个纯公式的例子,它跟我要做的事情是相关的。 ρn+c—— 也就是说零点的间隔比c要大,那么我们也可以把它归结成—— 其中,f(ρn+a) f(ρn+b)它一定是正的。 为什么这么说呢?因为随便一个ρn,从ρn到ρn+c之间,他一定没有零点。而ρn+a和ρn+b一定在这段之间,因为f是连续函数,所以他们的乘积一定是大于等于0的。 所以如果我们要证明assumption是不对的,可能有零点的间隔比c要小。如果我能够证明有一个χn是负的,只要证明它≤0,那这个assumption就错了。 如果我想证明的话,我就得去弄。 那么究竟我们需要怎么处理这个问题呢? 要证明有限的实数序列不是非负的,里面至少有一个是严格小于0的,怎么去证明呢? 我们常用的处理方法是这样: 我们找一组新的实数序列{yn},它要满足两个条件。第一:yn≥0,第二个:∑xnyn<0。只要能找到这样一组yn,这问题就解决了。 那这里头肯定有一项是严格小于0的,但yn是大于等于0,那么xn必须是小于0的。这就解决了传统要去做的事情。 可是怎么去选yn呢?这就牵扯到整个筛法发展的历史了。 最早是挪威数学家Brown在一个世纪前,应该在1917、18年的时候他找到了一组yn。这组yn的表述是很复杂的,但满足这类条件。 然后他用这个条件能推出9+9,在当时来讲是不可思议的,是一个惊人的构造。 后来,到了20世纪40年代末,另外一个挪威数学家叫塞尔伯格,他想得就比较简单,他说干脆我就去构造一组实数序列zn,zn是实数就行,没有任何限制。 然后把yn取成zn平方,于是第一个条件就自然满足了——实数的平方必然是大于等于0的。 于是问题就变成了,能不能得出下式小于0? 这里要牵扯到孪生素数猜想最近的进步,特别是梅纳德最近的贡献(他最近得了菲尔兹数学奖)。 xn的取值与孪生数有关,我们希望这里面至少有一个是负的,然后是求和。 在我之前有三个数学家,他们找到一组zn,能够证明这个和非常切近0,并且可以做到让ε任意小。 但是小于0这一步他们怎么也跨不过去。 而这里的主要障碍就是,他们要用到素数在等差级数里的分布,那里头有个限制就是有一个exponent指数,它不能超过1/2,否则余项就控制不住。 于是他们就跨在这个边上,用他们的话来说差一根头发丝就能跨过去了,但这个头发丝就没跨过去。 然后再下一步是我的工作: 我的工作从单独意义上来讲,在等差级数分布的问题上,应该是第一次突破了指数等于1/2的界限,就是说可以把这个指数取到比1/2再大一点。但我用的zn基本上还是他们引进的。 后来梅纳德就把这个问题改进了一大步,他引进了一种新的zn,最后能够证出这个孪生素数的弱形式,最后我们都是归结到这样一个不等式。 下面我们再回到朗道-西格尔零点, 我们也去构造像例2中实的连续函数,如果两个点中间没有零点的话,它们就是同号,它们的乘积应该就是非负的。 在论文的引理2.3中,我给出了这么一个东西,那么我就是要证明这么一个事情—— 如果存在朗道-西格尔零点,就推出 我想证明这个东西 是错的,也就是说我能证明 这个里面有一个是负的话,就可以了。 我花了很长时间,去证明下面这个结果是小于0的。 我找了很多很多这样的东西,发现一些非常有意思的事情:我没能直接证明它是小于0的,但我发现对很多zn它接近0。 它会小于一个ε乘上一个东西,而这个ε可以尽量小,我发现很多这样的zn。所以就差一点。 当孪生素数猜想出来时,有人说我是大海捞针。但实际上不太对,孪生素数实际上我没有去捞什么针。 但是去找这个zn,我确实是在大海捞针。 我试了很多很多东西,包括用到像变分法啊,用积分方程去找最大特征根啊,最后都是有一个问题:你可以在不同角度去找zn,找出来以后都是小于一个ε乘上一个数字,但这个ε你就是跨不过去,有点像我在做孪生素数时那样。 那最后是怎么去解决的呢? 这里我就想提到我在一开始给出的第一个公式。我的一个最初的想法,就是最关键的一步,我为什么能达到一个这样的证明。 第一步,我找到两组序列,都可以写成是这种形式—— 这两组序列我都可以证明……(这里还是把它写出实数形式) 这个东西我不能证明它小于0,实际上严格算它就是不小于0,但可以证明它非常接近于0。 同时呢,我也可以证明对于cn和dn,下面这个结果也是接近于0的。 而且呢,证明这两个关系式虽然看起来结果是一样的,但证明的方法是完全不一样的,是两种完全不同的treatment。 于是,我们又有一种方式证明这个东西接近0,但不能证明它小于0。 那么这两组序列有没有可能发生冲突呢?有冲突,就能给出一个矛盾。于是我就用了这样一个关系式。 出发点我们还是假定xn大于等于0。 然后我们用这样一个关系式,也就是一开始写的那个。 因为这个χn是非负的,χn我们就不需要取绝对值了。 我们再用这个关系式取一个绝对值,这里可以全部都取绝对值,减号就变成加号了。 我们有这样一个关系式,但是我们可以证明,实际上可以假定χn是非负的,我们可以用柯西不等式来估计下面这个的上界。 最后我们发现我们得到一个矛盾(算这个和不如用柯西不等式),我们发现算这个东西是不对的,左边应该是比右边的更大,于是用这个方式就推出矛盾来了。 大家有兴趣的话可以翻译一下我这篇文章,在第二节最后,我是用三个proposition就把它给弄下来了,然后剩下的就是去证明那三个proposition。 我们考虑一下数论的历史,一开始我们总是有这样的问题,要去构造一个yn。第一个条件是,这个yn必须是非负的,或者什么样,然后它乘以χn,加起来要小于0,要去构造这样一个yn。 最早是Brown在1718年 ,用默比乌斯函数的组合来构造出这样一个东西。 后来自从Selburg之后,yn就取成zn的平方,这个东西一直沿用下来。 当时我在做孪生素数猜想,我们也知道,yn等于zn平方,它只是一个能够保证它大于等于0的充分条件,但不是必要条件,还有没有别的形式 ? 有很多人想过,但目前为止没有人想出来(yn不是这个平方的形式)。 在我在这里,似乎有一种新的办法(更复杂),实际上我是引进了4个序列。 最后如果这些χn都是大于0,我能推出矛盾来。 今天我就先讲到这儿,这个东西作为介绍性的,我也只能讲得比较初等一点。 PS:如有错误,欢迎在留言中指正。 论文浅析 在这篇最新的论文中,张益唐教授提出了两个定理。 第一,对于L(1,χ)的估计: 第二,可能存在的西格尔零点不大于: 其中,c1和c2都是正实数,且与D无关。 论文地址:https://arxiv.org/abs/2211.02515 此前,张益唐教授证明朗道-西格尔零点猜想的论文已经广泛流传,由于全篇涉及解析数论等硬核知识,对于广大网友的理解门槛还是相当高的。 论文公布之后,来自知乎、B站、微博等媒体平台的各路专业人士和UP主的解读也为数不少了。 比如B站知识区UP「钰子一」对这篇论文结论的初步解读: 他的看法是,在假定张益唐教授的证明是正确的情况下(因为论文目前尚未经同行评议),这篇论文确实是距离证明真正的「零点猜想」最近的一次突破性成果。 下面是真正的「朗道-西格尔零点猜想」: 注意非零域的范围,最后一项的指数为-1。 张益唐教授这次在论文中成功证明的定理1和定理2,其中2是1的推论: 可以看到,定理2的最后一项的指数为-2024,而原始的「零点猜想」的指数为-1。 换句话说,这是目前关于朗道-西格尔零点猜想问题上,已证结论和待证的「终极目标」之间,距离最近的一次。 张益唐教授在文末表示,这个-2024的指数值,可以取得更大一些,但目前按照论文中的思路,可能取不到-1。 除了热心网友的粗浅解析,来自山东大学的解析数论专家在「张益唐教授谈朗道-西格尔零点猜想研究的新突破」中,也对张益唐教授这次的工作进行了专业角度的解析。 由于全体模D的狄利克雷特征(Dirichlet character)的适当线性组合,可以表示出模D算术级数的计数函数。因此,狄利克雷L-函数(Dirichlet L-series)与算术级数中的素数分布问题密切相关。 对于固定的狄利克雷特征,黎曼ζ函数的解析性质大多容易推广到相应的狄利克雷L-函数上去。比如当特征是复特征时,其L-函数与黎曼ζ函数有类似的非零区域: 但是,当特征是实原特征时,在区间 内至多可能存在一个一阶实零点,这里c是一个适当的正常数。 张益唐教授在最新预印本论文里证明了,模D的实原特征L-函数在区间 内没有实零点,这里c是绝对实效正常数。如果把这里的2024换成1,就得到原始形式的朗道-西格尔零点猜想。 专家指出,2024虽然大于1,但在数学意义上,与1并没有实质性的差别。 朗道-西格尔零点猜想 1859年,德国数学家黎曼在论文「论小于给定数值的素数个数」中,首次提及这个猜想。 黎曼发现,质数的分布跟某个函数有着密切关系: 这个公式中,s是复数,可以写成s=a+bi这样的形式(a是s的实部、b是s的虚部、i则是根号负一)。 当s的实部小于1时,整个级数和可能会发散。为了让函数适用于更广的范围,黎曼把上面的ζ函数改写为: 当s为负偶数(s= -2, -4, -6…)时,黎曼ζ函数为零。这些s的值,就称为平凡零点。 不过,此外还有另一些s的值,能够让黎曼ζ函数为零,它们被称为非平凡零点。就是这些非平凡零点,对质数的分布有着决定性影响。 到了这里,黎曼本人也无法证明了。 不过他做了一个猜测:黎曼ζ函数所有非平凡零点的实部都是1/2,或者说黎曼ζ函数在1/2
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    本文系统介绍了人工智能尤其是大模型技术所必需的数学基础,包括线性代数、概率统计、微积分、优化理论、信息论和离散数学等核心领域。文章详细阐述了这些数学分支在AI中的应用场景,并提供了学习路径建议,旨在为AI从业者和学习者构建坚实的数学基础框架。引言在人工智能的快速发展中,数学作为其基础语言和核心工具,扮演着不可替代的角色。无论是传统机器学习算法还是当今的大型预训练模型,其背后都依赖于深厚的数学理论基础。本文将从AI实践的角度出发,剖析支撑人工智能技术的关键数学分支,揭示数学与AI之间的深刻联系,并为有志于深入AI领域的学习者提供系统化的数学学习指南。一、线性代数:AI的基础语言线性代数是人工智能领域最为基础和重要的数学工具,尤其在处理高维数据和构建神经网络模型时不可或缺。向量、矩阵和张量的概念贯穿于AI的各个层面。在深度学习模型中,输入数据通常表示为向量或矩阵形式,如图像可以表示为像素值的三维张量(高度×宽度×通道)。矩阵乘法则是神经网络前向传播的核心运算,而特征值和特征向量的概念在PCA等降维方法中至关重要。矩阵分解技术如奇异值分解(SVD)在推荐系统和自然语言处理中广泛应用,例如潜在语义分析(LSA)。张量运算则是现代深度学习框架(如TensorFlow、PyTorch)的基础操作,支持高效的并行计算。理解线性代数的几何直观对于设计新型神经网络架构和优化模型性能具有重要价值。二、概率与统计:不确定性的数学描述概率论为人工智能系统处理不确定性和噪声提供了数学框架。贝叶斯定理构成了概率图模型和贝叶斯神经网络的基础,在垃圾邮件过滤、医疗诊断等应用中发挥关键作用。随机变量及其分布(如高斯分布、伯努利分布)是生成模型和统计机器学习的基础构件。统计学中的假设检验、置信区间和p值等概念对于评估模型性能和分析实验结果至关重要。统计推断方法使AI系统能够从有限数据中得出可靠结论,而描述统计量(均值、方差等)则是数据预处理和特征工程的基本工具。在大型语言模型中,概率分布决定了下一个词的生成策略,统计语言模型(如n-gram)仍然是许多NLP任务的基础。三、微积分:AI优化的引擎微积分是理解和优化人工智能模型的核心数学工具。导数与梯度概念构成了反向传播算法的基础,使深度神经网络能够通过梯度下降法学习复杂模式。多元函数的偏导数在训练具有数百万参数的模型时尤为重要,它决定了每个参数对最终损失的贡献程度。链式法则使得深层神经网络的训练成为可能,通过将复杂函数的导数分解为简单导数的乘积。积分在概率论和贝叶斯推断中扮演重要角色,如计算边缘分布和期望值。微分方程(尤其是随机微分方程)在连续时间神经网络和物理启发式AI模型中日益重要。理解这些微积分概念对于调试模型训练过程和设计新型优化算法至关重要。四、优化理论:AI模型的训练之道优化理论为人工智能模型的学习过程提供了系统化的方法论。梯度下降法及其变体(如随机梯度下降、Adam、RMSProp)是训练神经网络的标准工具。凸优化理论虽然在实际深度学习应用中较少直接使用,但为理解优化问题性质提供了重要视角。约束优化方法在公平AI和机器人控制等领域有重要应用,而全局优化技术(如贝叶斯优化)则用于超参数调优。KKT条件等概念解释了为什么某些优化问题存在最优解。在大模型训练中,分布式优化算法和二阶优化方法(如自然梯度)变得越来越重要,以处理海量数据和参数。五、信息论:AI的通信与压缩基础信息论为人工智能系统中的信息表示、传输和压缩提供了理论基础。熵的概念量化了随机变量的不确定性,在决策树算法和特征选择中直接应用。KL散度衡量两个概率分布之间的差异,是变分自编码器(VAE)和生成对抗网络(GAN)等生成模型的核心组成部分。互信息概念有助于理解特征之间的相关性,应用于特征选择和表示学习。编码理论则影响模型压缩和量化技术,使大型模型能够在资源受限的设备上部署。在现代大型语言模型中,信息论概念如困惑度(perplexity)直接用于评估模型性能,而最小描述长度原则指导着模型架构设计。六、离散数学:算法与逻辑的基础离散数学为人工智能中的算法设计和逻辑推理提供基础。图论知识支撑着社交网络分析、知识图谱和图神经网络。组合数学在特征选择和模型结构搜索中有重要应用。数理逻辑是专家系统和自动推理的基础,而集合论则是数据库理论和知识表示的数学基础。在自然语言处理中,形式语言与自动机理论解释了不同文法类别的表达能力。计算复杂性理论帮助AI研究者理解问题的固有难度,并指导算法设计。随着AI系统越来越多地涉及符号操作和逻辑推理,离散数学的重要性将进一步增强。七、数学在大型模型中的综合应用现代大型AI模型(如GPT、BERT、扩散模型)综合运用了前述所有数学分支。Transformer架构中的自注意力机制本质上是高维空间中的向量运算与概率分布的混合体。大型语言模型的训练过程结合了优化理论、概率论和信息论的多方面知识。模型并行和数据并行策略需要线性代数和优化理论的协同应用。提示工程和少样本学习依赖于对高维空间几何特性的理解。模型解释性技术(如注意力可视化)则结合了统计分析和信息论概念。理解这些数学基础的交互作用对于创新大型模型架构和提升其性能至关重要。八、AI数学基础的学习路径建议针对不同背景的学习者,建议采取分阶段的数学学习策略:初学者应从线性代数和基础概率统计开始,建立直观理解;中级学习者需要掌握多元微积分和优化理论基础;高级研究者则应深入随机过程、微分几何和泛函分析等进阶领域。实践性学习尤为重要,建议通过Python科学计算库(NumPy、SciPy)实现数学概念,在Jupyter笔记本中可视化数学对象。参与AI竞赛(如Kaggle)可以将数学知识应用于实际问题。持续学习最新研究论文中的数学方法,并关注AI与数学交叉领域的前沿发展。结论数学构成了人工智能尤其是大型模型技术的理论基础和核心工具。从线性代数到信息论,每个数学分支都为解决AI特定问题提供了独特视角和方法。随着AI技术向更复杂、更强大的方向发展,深厚的数学素养将成为AI研究者和工程师的关键竞争优势。建议学习者采取"学习-实践-反思"的循环模式,将数学理论与AI实践紧密结合,培养解决复杂AI问题的数学思维和能力。未来AI的发展必将催生新的数学工具和方法,而扎实的数学基础将使从业者能够更快地适应和贡献于这些创新。
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