原创 DC-DC BUCK 电路的稳定分析

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设计稳定的DC/DC控制回路
作者：Mark Ziegenfuss
高级应用工程师
Micrel
如果既不知道误差信号放大器极点和零点的适当位置，也不知道其所需增益的大小，在这种情况下设计一个DC/DC变压器的补偿网络很悬。通常都是通过反复试验来使DC/DC变压器的控制回路得到稳定。本文中，一个系统化的近似方法可以解决这个问题。
概述
随着开关频率的增加，反馈信号带宽也会增加。反馈信号的带宽通常为开关频率的五分之一至十分之一。反馈信号带宽通过测量开环传递函数的交越频率来确定。开环传递函数的单位增益所在的频点就是交越频率。当使用MHz区域的开关频率，使开环增益的交越频率(fco)达到几百KHz并不困难。不管DC/DC变压器的操作频率，用我们的方法都会得到非常好的结果。
调节开关电源通过负反馈系统具有一个受控的输出，而反馈回路本质上具有震荡的可能性(不稳定)，某些带反馈的系统在特定条件下会振荡，所以我们首要的任务就是要知道何时以及何种条件下系统才能保持稳定。
反馈理论
知道反馈系统维持稳定的约束条件是非常重要的事，因此我们需要熟悉一下反馈理论。图一描述了一个负反馈系统。
图1：具有负反馈的系统
其闭环传递函数为：
当1 + G(s)H(s) = 0时，系统明显不稳定，因此G(s)H(s) ≠ -1是一个稳定性的约束条件。G(s)H(s) = T(s)称为开环传递函数，T(s)的大小为开环增益，有时也称为回路增益，而Tθ(s)为开环增益的相位，或者简单的说就是回路相位。故此，当|T(s)| =1，而Tθ(s) = -180度，系统将失去稳定。
开环增益和相位决定了系统的稳定性。当描述的系统是闭环系统时，把T(s)称为开环增益似乎容易产生混淆。我们称G(s)H(s)为环绕回路上的正向增益和反向增益的乘积。当H(s)不为零，系统明显具有反馈增益，因此也就是一个闭环系统。
另一个稳定系统的约束为当|T(s)| = 1 ，而相位Tθ(s) ≥ -180。
DC/DC变压器反馈系统
图2是电压模式同步DC/DC变压器的简单示意图，比如Micrel's MIC2130/1。内部的跨导误差放大器被用来补偿电压反馈回路,通过电容C1串联电阻R1再与另一个电容C2并联，从放大器的COMP口接地。(注：陶瓷输出电容可能需要第三类补偿，这将是另一篇文章关注的主题)。DC/DC变压器被表示为图3中的增益单元。
图2：简化的系统结构示意图
从反馈理论，稳定性约束其中的一个为当开环增益T(s) = 1 (即 0db),而开环相位Tθ(s) ≥ -180度，即相位须大于(负的较少)-180度。相位大于-180度部分的量称为相位容限，(译者注：系统由稳定变为不稳定的相移附加量),典型值在30至60度之间。当预测系统的稳定性，以及在跃变的瞬间上冲和下冲的量有多少时，相位容限是一个关键参数。
图3：DC/DC变压器，增益分块表示法
开环传递函数的幅值和相位由下式给出：
T(s) = Gea*GPWMcmp(s)*GPWRS(s)*Gflt(s)*Hfb(s),
其中幅值为：
|T(s)| = |Gea(s)| + |GPMWcmp(s)| + |GPWRS(s)| + |Gflt(s)| + |Hfb(s)|
相位为：
Tθ(s) = θea + θPWMcomp + θflt + θfb
图3中跨导类型误差放大器的增益由下式给出：
相应于Micrel's MIC2130系列控制器，gm = 1.5ms，且
即，MIC2130/1的占空系数最大至85%。此外，
其中：
简单的说，我们把PWN比较器增益和功率级增益结合在一起，并称之为调制增益。由此：
其中T(s)的幅值为|T(s)| = |Gea(s)| + |GMOD(s)| + |Gflt(s) + |Hfb(s)|。则θMOD = 0 ，输出滤波器的相位包括电感L和输出电容COUT的复极点。且在高频段，有一个相位提升，这是由COUT的等效串联电阻(ESR)产生的零点导致的。因此滤波
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器在F0有两个极点，同时在Fesr有一个零点。此外，θflt = -180度在F0 ，和 +90度在Fesr.
设计稳定的DC/DC变压器的步骤
1. 使用一个网络分析工具测量和绘制调制器和滤波器的增益，图2中的 (Vout/V) = GMOD(s) * Gflt(s)。
2.从绘制中，发现交越频率点的增益，fco (选择一个频率，为开关频率的1/5至1/10)
3.给出已知的GMOD(s) * Gflt(s)和反馈增益H(s)，确定跨导误差放大器(Eq.2)所需的增益，能使fco频点处的开环增益为0dB。故
|T(2πfco)| = 0 = |Gea (2πfco) | + |GMOD (2πfco)| + |Gflt (2πfco)| + |Hfb (2πfco)|
以及：
|Gea (2πfco) | = – |GMOD (2πfco)| – |Gflt (2πfco)| – |Hfb (2πfco)|
4. 设计有足够增益的设计误差放大器，让在fco频点的开环增益为0dB。
5. 针对希望的相位裕度设置误差放大器的极点和零点
设计实例
作为一个例子，让我们考虑一下MIC2130控制器家族，具有：Vin = 24V; Vout = 3.3V; Iout = 10 A; L = 7.3 mH，C = 670 mF；Resr = 40 milliohms；Fsw = 150 kHz。调制器和滤波器的增益和相位为Vout/Vcomp = GMOD(s) * Gflt(s)(见图2)。 一个由计算机模拟的 Vout(s)/Vcomp(s)输出如图4所示。
图4： 调制器的相位和增益
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在频率F0有一个-180度的相位转换。当大于F0，由于零点在Fesr的原因,相位向-90度方向增加。极点和零点对相位的影响由低于10度开始，到高于10度结束。因此，在零点或极点的频率处，相位效应为最终结果的一半。在2.3kHz处的复极点，相位为-90度，同时在23kHz时，如果没有6kHz附近的90度相位超前，相位将为-180度。相位超前是由于滤波电容器的等效串联电阻造成的。(实际上，此相位增益图达到了其渐进终值)。由图4，我们发现直流和低频区域的增益为：
增益的峰值大约为低频增益加上Q，为27+10 ≈ 37 dB。我们希望T(s)的交越频率为开关频率的1/10(约15kHz)。由此，我们要求Tθ(j2πfco)大于-180度，至少能达到相位裕度。由GMOD(s) * Gflt(s)的增益曲线可见，在15kHz，增益大约为2.3dB，从而使Tθ(2πfco) = 1 (0 dB),
T(s) = Gea(s) * GMOD(s) * Gflt(s) * Hfb(s) = 1 at Fco
此外，当Hfb = Vref/Vout = 0.7/3.3 = 0.212 (or -13.5 dB)。从而， |Gea| = |T| – |GMOD| - |Hfb| = 0 - 2.3 - (-13.5) dB = 11.2 dB → 3.63。因此误差放大器在Fco频点时会需要11.2dB的增益。因此在15 kHz处，gm * Zcomp = 3.63。(译者注：这里是倍数关系，而不是dB值)。
误差放大器频带的中部(即平坦的部分)，其中心应该位于所希望的交越频率处(见图5)，因此会得到最大的相移促进。为了能得到T(s)函数所希望的相位裕度，选择误差放大器的极点和零点的位置。为了能使在交越频点(Fco)的相位提升达到最大，设置误差放大器的第一个零点在 Fco/10处，由于相位提升造成的影响，在Fco处能达到最大值。同样的，把误差放大器的极点设在至少Fco的10倍处，由此其相位迟滞的影响在Fco处能够最小，同时频带中部的增益为11.2dB。因此，使用标准值 R1 = 2.43k欧; C1 = 0.047 微法, and C2 = 470 皮法.
跨导误差放大器
通常不希望在高频处的误差放大器的增益过高，因为这会在输出端产生较强的高频噪声尖峰，所以高频处的增益应该被衰落。在低频处，我们希望具有高的开环增益，以致能得到良好的整流特性来削弱功率的起伏。因此，误差放大器的增益在低频处应该被迅速的增加。内部的gm误差放大器，其传递函数配合着comp管脚的R1，C1和C2，由下式给出：
闭环传递函数为：
若设C2远小于C1，上面的闭环传递函数的公式可被简化为：
从上述的传递函数可看出，R1和C1引入了一个零点，而R1和C2引入了一个极点。零点和极点所处的频率分别为Fzero1= 1/(2πR1*C1), Fpole1 = 1/(2πR1*C2), 且Fpole, origin = 1/(2πC1).
图5：误差放大器的增益和相位
上述传递函数的增益和相位曲线由图5所示，其中R1 = 2.43k欧, C1 = 0.047 微法, C2 = 470 皮法, and g = 0.0015 西门子。由图中可见，在15KHz，误差放大器的增益大约为11.2dB，而相位为170度。
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图6显示了具有相同元件的开环传递函数曲线，它的交越频点在15kHz，且相位裕度为60度。
图6：开环传递函数T(s)的增益和相位
图7综合了所有的曲线，正如我们所见的，T(s) = Gea(s) * GMOD(s) * Gflt(s) * Hfb(s)。另外，开环传递函数的幅度等于环路连接的各个方块增益幅度的总和。同时，开环传递函数的相位等于环路连接的各个方块增益相位的总和，即 |T(s)| = |Gea(s)| + |GMOD(s)| + |Gflt(s)| + |Hfb(s)| 且 Tθ(s) = θT(s) = θea + θMOD + θflt + θfb。
图7：增益方块表示法中各方块的增益和相位