原创 积分公式

§5.3　基本积分公式

　　基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式.
　　因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.
　　(1)                 （ 5.6 ）
　　(2)      ( 5.7 )
(3)                      ( 5.8 )
(4)     ( 5.9 )
(5)                       ( 5.10 )
(6)                 ( 5.11 )
(7)                   ( 5.12 )
(8)                  ( 5.13 )
(9)                   ( 5.14 )
(10)           ( 5.15 )
          
(11)                 ( 5.16 )

　　对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记.
　　公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数.
　　公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与.
　　当时，，
　　积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次.
　　特别当时，有 .
　　当时，
　　公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清.
　　当时，有 _.是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变.
　　应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同.
　　公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.
　　公式（10）是一个关于无理函数的积分

　　公式（11）是一个关于有理函数的积分

　　下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分.
　　例1 求不定积分 _.
　　分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式.
　　解：

    （为任意常数）
　　例2 求不定积分 _.
　　分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式.
　　解：由于，所以
   （为任意常数）
　　例3 求不定积分.
　　分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式.
　　解：     

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(为任意常数)
　例4 求不定积分 _.
　　分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次.
　　解：  （为任意常数）
　　例5 求不定积分.
　　分析：基本积分公式表中只有
　　　　但我们知道有三角恒等式：
　　解：
           

　　　　　　　　　　　　　　　　（为任意常数）
　　同理我们有：

　　　　

（为任意常数）
　　例6

　　　　　　　　　　　　　　　　　（为任意常数）