原创 【转载】Z变换与傅里叶变换

在数字信号处理中，Z变换是一种非常重要的分析工具。但在通常的应用中，我们往往只需要分析信号或系统的频率响应，也即是说通常只需要进行傅里叶变换即可。那么，为什么还要引进Z变换呢？Z变换和傅里叶变换之间有存在什么样的关系呢？<?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

傅里叶变换的物理意义非常清晰：将通常在时域表示的信号，分解为多个正弦信号的叠加。每个正弦信号用幅度、频率、相位就可以完全表征。傅里叶变换之后的信号通常称为频谱，频谱包括幅度谱和相位谱，分别表示幅度随频率的分布及相位随频率的分布。在自然界，频率是有明确的物理意义的，比如说声音信号，男同胞声音低沉雄浑，这主要是因为男声中低频分量更多；女同胞多高亢清脆，这主要是因为女声中高频分量更多。对一个信号来说，就包含的信息量来讲，时域信号及其相应的傅里叶变换之后的信号是完全一样的。那傅里叶变换有什么作用呢？因为有的信号主要在时域表现其特性，如电容充放电的过程；而有的信号则主要在频域表现其特性，如机械的振动，人类的语音等。若信号的特征主要在频域表示的话，则相应的时域信号看起来可能杂乱无章，但在频域则解读非常方便。在实际中，当我们采集到一段信号之后，在没有任何先验信息的情况下，直觉是试图在时域能发现一些特征，如果在时域无所发现的话，很自然地将信号转换到频域再看看能有什么特征。信号的时域描述与频域描述，就像一枚硬币的两面，看起来虽然有所不同，但实际上都是同一个东西。正因为如此，在通常的信号与系统的分析过程中，我们非常关心傅里叶变换。

既然人们只关心信号的频域表示，那么Z变换又是怎么回事呢？要说到Z变换，可能还要先追溯到拉普拉斯变换。拉普拉斯变换是以法国数学家拉普拉斯命名的一种变换方法，主要是针对连续信号的分析。拉普拉斯和傅里叶都是同时代的人，他们所处的时代在法国是处于拿破仑时代，国力鼎盛。在科学上也取代英国成为当时世界的中心，在当时众多的科学大师中，拉普拉斯、拉格朗日、傅里叶就是他们中间最为璀璨的三颗星。傅里叶关于信号可以分解为正弦信号叠加的论文，其评审人即包括拉普拉斯和拉格朗日。

回到正题，傅里叶变换虽然好用，而且物理意义明确，但有一个最大的问题是其存在的条件比较苛刻，比如时域内绝对可积的信号才可能存在傅里叶变换。拉普拉斯变换可以说是推广了这以概念。在自然界，指数信号exp(-x)是衰减最快的信号之一，对信号乘上指数信号之后，很容易满足绝对可积的条件。因此将原始信号乘上指数信号之后一般都能满足傅里叶变换的条件，这种变换就是拉普拉斯变换。这种变换能将微分方程转化为代数方程，在18世纪计算机还远未发明的时候，意义非常重大。从上面的分析可以看出，傅里叶变换可以看做是拉普拉斯的一种特殊形式，即所乘的指数信号为exp(0)。也即是说拉普拉斯变换是傅里叶变换的推广，是一种更普遍的表达形式。在进行信号和系统的分析过程中，可以先得到拉普拉斯变换这种更普遍的结果，然后再得到傅里叶变换这种特殊的结果。这种由普遍到特殊的解决办法，已经证明在连续信号与系统的分析中能够带来很大的方便。

Z变换可以说是针对离散信号和系统的拉普拉斯变换，由此我们就很容易理解Z变换的重要性，也很容易理解Z变换和傅里叶变换之间的关系。Z变换中的Z平面与拉普拉斯中的S平面存在映射的关系，z=exp(Ts)。在Z变换中，单位圆上的结果即对应傅里叶变换的结果。