原创 傅立叶分析

在数值电路的传输中，为了避免信号干扰，需要把一个连续信号x(t)先通过取样离散化为一系列数值脉冲信号x(0)，x(1)，…，然后再通过编码送到传输电路中，如果取样间隔很小，而连续信号的时间段又很长，则所得到的数值脉冲序列将非常庞大。因此，传输这个编码信号就需要长时间地占用传输电路，相应地也需要付出昂贵的电路费用。

那么能否经过适当处理使上述的数值脉冲序列变短，而同时又不会丧失有用的信息？经过研究，人们发现，如果对上述数值脉冲序列作如下的变换处理：

（1）

则所得的新序列X(0)，X(1)，…，将非常有序，其值比较大的点往往集中在某一很狭的序列段内，这将非常有利于编码和存储，从而达到压缩信息的目的。

公式（1）就是所谓的离散傅立叶变换，简称DFT。

§1.1 傅立叶级数

我们知道，当是以T为周期的函数时，它可以展成如下的傅立叶级数：

， （2）

其中

， （3）

应用欧拉恒等式

， （4）

则（2）式可以改写成

， （5）

其中。今引进记号

应用（3）式不难得到

（6）

于是，我们得到了如下复指数形式的傅立叶级数：

（7）

显然（7）式更加紧凑，它是工程分析中最常采用的形式。从变换的角度讲，由x(t)可以获得一离散函数X(n)；同时，用离散函数X(n)又可复原x(t)，通常系数X(n)是复数，可直接由（6）式得到