原创 保持爱情顺利运转的数学模型

相信很多有女朋友的兄弟都有这样的体会，由于粗心，忽略了MM的感受，MM闹脾气，自己哄MM费了好大劲，花钱还不讨好，还伤感情，双方损失可谓太大。想想，如果平时能时不时注意一下，将MM生气时哄MM的花销用在平时来点小节目啊，小礼物啊什么的，MM高兴，自己也高兴，工作也就踏实，生活也就过得更好！于是有下面的这个模型。
引言：正如生产车间里应该经常检查各种设备的完好状况，以便及时发现和排除故障
，保证生产的顺利进行一样，我们应该经常“检查”MM的心情指数，以便及时发现和排除
潜在的“发飙”，保证爱情的顺利进行。接连两次检查的时间间隔称为检查周期，我们的
目的就是确定检查周期到底跟哪些量有关系，同时多长的时候总损失最小。设备出现故障
的时刻是随机的，一旦出现故障，将会带着故障运行到下次检查时才发现，损失相当大。
俗话说，女人心，海底针，MM发飙的时刻也是随机的，一旦发起飙来，我们就得想办法补
救，物质和精神损失相当大。当然，频繁的“检查”的确可以较长时间让MM保持一个好的
心情指数，但是实际生活中很多兄弟不具备这个条件，况且太频繁“检查”习惯后，一旦
“检查”次数少了，MM会更容易猜疑发飙。我们需要建立一个随机性优化模型，根据MM发
飙的随机规律、损失量、补救费来确定检查周期使总的损失最小。
     一般说来，检验周期是时刻t的函数，我们设为s(t)，假设其连续，则单位时间内的
检验次数n(t)=1/s(t)。下面给出模型的一些假设。
模型假设：
1、
MM发飙时刻的概率分布函数为F(X),概率密度为f(x)，MM保持心情好的极限时间长为T，即
F(T)=1.
2、MM发飙到我们采取措施使之重新高兴这段时间双方的损失（时间、物质、精神）与时间
长短成正比，比例系数为c1，即单位时间损失。
3、相邻两次“检查”之间，MM发飙的时刻可以认为是均匀分布的，MM发飙持续时间可以取
这个分布的均值。
4、每次期望补救费为c2，到时刻t为止的补救次数可以表示为∫(0,t) n(τ)dτ
建模与求解

MM在[t,t+Δt]时刻内发飙，由假设3，发飙时刻在周期s(t)内呈均匀分布，所以发飙持续
时间为s(t)/2=1/(2*n(t))，再由假设2，损失为：c1/(2*n(t))。根据假设4，补救费用为
c2∫(0,t) n(τ)dτ。于是总的费用为
c1/(2*n(t))+ c2∫(0,t) n(τ)dτ。
     由假设1，时间T内的总费用期望值为
c( n(t) )=∫(0,T) [c1/(2*n(t))+ c2∫(0,t) n(τ)dτ]f(t)dt (1)
c( n(t) )是n(t)的泛函，为了利用泛函极值的必要条件——欧拉方程计算泛函极值，我们
令

x(t)= ∫(0,t) n(τ)dτ (2)
x(t)表示到t为止的补救次数，那么(1)式化为

c( x(t) )= ∫(0,T) [c1/(2*x’(t))+ c2 x(t)]f(t)dt (3)
x(t)显然满足：
x(0)=0,x(T)自由 (4)
(3)、(4)是一段固定一端自由的泛函极值问题。
    利用欧拉方程（姜启源 《数学模型》（第二版） 高教出版社P263）可得x(t)应满足

c2*f(t)+(c1/2)*(d/dt)[f(t)/(x’(t))^2]=0 (5)
对(5)式进行积分，注意到dF/dt=f(t)，我们得到
      c2*F(t)+ (c1/2)*[f(t)/(x’(t))^2]=k (6)
令积分常数k= c2*a，则有

f(t)/ (x’(t))^2=(2c2/c1)[a-F(t)]
(7)
用自由端点的横截条件确定常数a.根据《数学模型》P267 第(21)式，我们得到

[f(t)/(x’(t))^2]|(t=T) =0
(8)
将(8)代入(7)式并由假设1的F(T)=1,立即有a=1。于是

1/(x’(t))^2=(2c2/c1) [1-F(t)]/f(t)
(9)
根据(2)式和x(0)=0得到
s(t)= sqrt(( (2c2/c1) [1-F(t)]/f(t) ) ) (10)
由于MM发飙时刻具有无记忆性，一个月没发飙不代表下一分钟一定不发飙，刚发完飙也不
代表未来几天就不发飙，因此比较符合指数分布。即
F(t)=1-exp(-λt)，t≥0,λ＞0
（11）
因此此时的s(t)=sqrt(( 2c2/λc1) )=sqrt(( 2μc2/c1) )，其中μ=1/λ，表示MM持续心
情好（不发飙）的期望时间，可以看出最佳补救周期跟时刻无关。这样我们就得到了使得
总的损失最小的补救周期s=sqrt(( 2μc2/c1) )，这个最佳补救周期仅由MM持续心情好的
期望时间μ，MM发飙时单位时间双方损失c1，每次期望补救费c2决定！