原创 信号与系统的相互作用

信号与系统的相互作用实际上可以理解为系统的输入与输出之间的关系。

1 卷积

系统的输入/输出关系可以表示为：

y(n) = T[x(n)] = ，可以记为

y(n) = x(n)*h(n)

1）输入信号的角度

y(n) =  = x(n)*h(n)

h(n)是指输入为单位冲激时系统的输出。通俗的说，仅在n=0时刻给系统输入一个值，系统不只在n=0时刻有输出，在n=1，2，…, N-1等随后的时刻还有输出。对于一个信号来说，不同时刻的输入值x(m)对系统的输出都有贡献，贡献的大小一方面与x(m)的大小有关，另一方面与m的大小有关。系统的输出就是将不同的x(m)的贡献都加起来的结果。(摔跤的例子)

2）系统的角度

y(n) =  = h(n)*x(n)

系统的h(n)可以看作是一组加权系数，系数的输出不仅和当前时刻的输入有关，而且与之前时刻的输入有关，而且和之前时刻的输入有关，但不同时刻的输入对输出的影响是不一样的，h(n)这组加权系数就是表征这种不同的影响。信号处理的过程就是对输入信号加权运算的过程。(火车站的危险品扫描系统，FIR滤波器)

卷积运算满足交换律。

卷积的边界效应不仅在信号和系统刚刚开始相互作用时出现，而且在信号输入要结束时也会出现。开始时存在边界效应的点数是M-1，实际中应将h(n)长度尽可能减小。

卷积定理：Y(ejw) = X(ejw)H(ejw) ,这表明，从频域看来，卷积运算变为输入信号傅里叶变换和系统频率响应的乘积。信号与系统的相互作用，在时域表现为卷积，在频域表现为乘积。

对于输入信号x(n)来说，可以分解为多个复正弦信号之和，X(ejw)就是对应频率的系数。卷积定理可以很方便的从Z变换得到。

现实中的信号都是能量有限，带宽有限的。但为了分析方便，在信号处理中也经常要用到一些能量无限的理想信号，比如周期信号等，为此引入了功率信号的概念。

2 相关

信号处理中，相关最基本的含义是定量的衡量两个信号的相似程度，包括自相关和互相关。

1）能量信号相关的定义

rxy(m) = ， rxx(m) = 

可以看作是一类特殊的信号与系统的相互作用。

2）功率信号相关的定义

rxy(m) = , 周期为N

注意，在信号处理中，相关从物理概念上可以理解为两个信号的相似程度。rxy(m)的绝对值越大，并不能说明信号的相似程度越强。信号处理中用相关系数ρxy(m)来更细致地描述信号的相似程度，可认为是归一化的rxy(m)。对能量信号来说，归一化因子为信号的能量；对功率信号来说，归一化因子为信号功率。完全相似不是完全相同。相关是描述噪声(随机信号)必不可少的工具。

随机信号的幅度、相位均随时间做无规律的、未知的、随机的变化。这次测出的是这种波形，下次测出的可能会是另外一种波形。无法用确定的时间函数来描述，无法准确地预测它未来的变化。但是，随机信号的统计规律是确定的，因此，人们用统计学方法建立了随机信号的数学模型——随机过程。

随机信号分为平稳和非平稳两大类。

平稳随机信号——其均值和相关不随时间变化。平稳随机过程在时间上是无始无终的，即它的能量是无限的，只能用功率谱密度函数来描述随机信号的频域特性。

平稳随机信号又分为各态历经和非各态历经。

各态历经信号——指无限个样本在某时刻所历经的状态，等同于某个样本在无限时间里所经历的状态的信号。各态历经信号一定是平稳随机信号，反之不然。

随机信号不能用确定的时间函数来表达，只能通过其随时间或其幅度取值的统计特征来表达。这些统计特征值有：

①数学期望值，描述随机信号的平均值。

②方差值，描述随机信号幅度变化的强度。

③概率密度函数，是描述信号振幅数值的概率。

④相关函数，描述随机信号的每两个具有一定时间间隔的幅度值之间的联系程度的数值，它是时间间隔的一个函数。

⑤功率谱密度，描述随机信号在平均意义上的功率谱特性。

以上这些统计特征是描述随机信号的主要数字特征。研究随机信号的数学方法是随机过程理论。

相关的频域描述

1 对于能量信号来说

相关的傅里叶变换Rxy()可以看作是X()和Y()的共轭的乘积

Rxy() = X()Y*()， Rxx() = X()X*() = | X()|2

2 对于功率信号来说

功率信号不满足傅里叶变换的绝对可积的条件，其傅里叶变换是不存在的。对于功率信号来说，功率谱针对能量无限（功率有限）的功率信号，包括随机信号与周期信号，Rxx(ejw)也称为信号的功率谱，也用Pxx(ejw)表示。功率谱Rxx(ejw)和自相关rxx(m)之间是一对傅里叶变换对。这就是维纳-辛钦定理，为功率信号的时域与频域之间的分析架起了一座桥梁。（噪声，随机过程）

从相关的角度看噪声

一．噪声的平稳性，从严格意义上说，指的是联合概率密度与时间的起点无关，只与相差的时间有关，这种平稳也称为狭义平稳。从更广泛意义上说，平稳性指的是其均值为常数，相关函数与时间起点无关，只与相差的时间有关，这种平稳也称为广义平稳或者宽平稳。

对于随机变量和随机过程来说，迄今为止人们所能采用的最科学的方法自然是用概率密度进行描述。但这种方法不仅相当复杂，而且不太实用。在信号处理中，通常以相关为核心来描述随机过程。

随机过程(Stochastic Process)是一连串随机事件动态关系的定量描述。

随机信号的数字特征如果本身也是随较长的时间变化而变化的话，那么这种随机信号属于非平稳随机过程。否则均属于平稳随机过程。平稳随机过程的分析比较成熟，也相对容易一些。而非平稳的随机过程，比较不容易计算。对于平稳随机过程，由于其统计数字特征不随时间变化，因此许多分析方法与研究非随机过程的方法相似，傅里叶变换方法仍是主要的分析工具。

用均值和相关就可以充分描述一个平稳的随机过程，处理相对比较简单。

二．经典信号处理中噪声默认是高斯平稳的(广义平稳)；

三．噪声可以用相关这个概念来很好的描述。

高斯白噪声的理解

高斯噪声是在给定的时刻n，噪声v(n)是一个随机变量，这个随机变量服从高斯分布，或者说正态分布。没有特别指明的情况下，高斯白噪声指的是零均值的高斯白噪声。白噪声是指包含了所有频率的噪声。

因为噪声是功率信号，无法计算其傅里叶变换，因而在频域无法用频谱来描述，只能采用功率谱这个概念，Pvv(ejw)= 。由维纳-辛钦定理可知，功率谱的反傅里叶变换就是自相关，即rvv = 。

频域上的“白”指的是全频段的特性一致，而在时域上“白”指的是不同时刻的噪声不相关。带宽表示的是变化快慢的范围。频域上的带宽无限大，表示的是时间上变化的无限快。这样就可以很自然地推断出时间上即便是相邻的两个噪声值，因其变化太快，也是不相关的。

高斯噪声和白噪声是两类相互独立的噪声。高斯噪声表征的是噪声所服从的概率分布是高斯的。白噪声，从时域上看表征的是不同时刻之间噪声的不相关，从频域上看表征的是噪声的全频段特性。

对一般的随机信号而言，功率谱在物理上的意义都可以理解为平均功率。因为随机信号具有不确定性，任何单个的样本都不能表征其全貌，只能从平均的意义上来描述。

相关可以理解为一类时域特殊的平均，功率谱可以理解为一类频域特殊的平均。相关和功率谱之间存在傅里叶变换的关系。

对于能量信号，除了可以用频谱表示之外，还可以用能量谱来描述。所谓的能量谱，也称为能量谱密度，是指用密度的概念表示信号能量在各频率点的分布情况。也即是说，对能量谱在频域上积分就可以得到信号的能量。能量谱是信号幅度谱的模的平方，其量纲是焦/赫。

理论上，只有能量信号的傅里叶变换才存在。

对于功率信号，常用功率谱来描述。所谓的功率谱，也称为功率谱密度，是指用密度的概念表示信号功率在各频率点的分布情况。也就是说，对功率谱在频域上积分就可以得到信号的功率。从理论上来说，功率谱是信号自相关函数的傅里叶变换。因为功率信号不满足傅里叶变换的条件，其频谱通常不存在，维纳-辛钦定理证明了自相关函数和傅里叶变换之间对应关系。在工程实际中，即便是功率信号，由于持续的时间有限，可以直接对信号进行傅里叶变换，然后对得到的幅度谱的模求平方，再除以持续时间来估计信号的功率谱。

频谱反映的是信号的幅度和相位随频率的分布情况，它在频域中描述了信号的特征。同时，我们也可以用能量谱和功率谱来描述信号，它们反映了信号的能量或功率密度随频率的变化情况，它对于研究信号的能量（或功率）的分布，决定信号所占有频率等问题有着重要的作用。特别是对随机信号，无法用确定的时间函数来表示，也就无法用频谱表示，往往用功率谱来描述它的频率特性。

信号通过系统，在时域上来看是卷积，在频域上看是相乘。只有当系统的频率响应为常数，即系统为全通系统时，高斯白噪声通过系统后仍然是高斯白噪声，否则就变成高斯噪声了。

最佳接收系统

x(n)=s(n)+v(n)，x(n)为回波，s(n)为回波信号，v(n)为回波噪声。

y(n)=so(n)+vo(n)，表示输出

系统输出的信噪比定义为输出信号的功率与输出噪声功率之比：

，其中，为so(n)的瞬时功率，为vo(n)的平均功率。

被噪声污染的信号通过LTI系统，其输出的信噪比最大为Es/。而且只有当系统的频率响应为：H(ejw) = KS*(ejw)，输出在n=n0 ，时刻的信噪比达到最大值，这样的系统也称为匹配滤波器。即最佳接收系统的频率响应是回波信号的傅里叶变换先求共轭，再乘上一个相移因子。

时域：h(n) = Ks(n0-n)，即最佳接收系统的单位冲激响应式回波信号在时间轴上先折叠，再平移。

频域分析

最佳接收系统的幅频响应等于回波信号的幅频特性，在没有信号分量的频率上，噪声完全被抑制。信号通过系统之后，相位都被抵消了，这样所有的不同频率的信号在0时刻的相位都是相同的，因而在这个时刻点上的输出具有最大值。

时域分析

so(n)=rss(n-n0)，系统输出信号实际上就是回波信号的自相关函数。最佳接收系统又称为相关接收系统。一般情况下，噪声和信号是没有相似性的，因此，通过相关接收系统之后，很自然就尽可能抑制了噪声。信号和自身是最相似的，就尽可能的放大了信号。

在高斯白噪声背景下，错误概率最小准则下的最佳接收系统等效于输出信噪比最大准则下的最佳接收系统。

卷积表征的是一般意义上的信号与系统的相互作用，即任意的信号通过LTI系统(由单位冲激响应来表示)，都可以表示为卷积的关系。而相关表示的则是信号通过最佳接收系统这一特殊的系统。

对确定性的信号，特别是非周期的确定性信号，常用能量谱来描述。面对随机信号，由于理论上持续时间无限长，不满足绝对可积与能量可积的条件，因此不存在傅里叶变换，所以常用功率谱来描述。周期性的信号，也同样是不满足傅里叶变换的条件，也常用功率谱来描述。