原创 矩阵求导

1. 矩阵Y对标量x求导：

相当于每个元素求导数后转置一下，注意M×N矩阵求导后变成N×M了

Y = [y(ij)] --> dY/dx = [dy(ji)/dx]


2. 标量y对列向量X求导：

注意与上面不同，这次括号内是求偏导，不转置，对N×1向量求导后还是N×1向量

y = f(x1,x2,..,xn) --> dy/dX = (Dy/Dx1,Dy/Dx2,..,Dy/Dxn)'


3. 行向量Y'对列向量X求导：

注意1×M向量对N×1向量求导后是N×M矩阵。

将Y的每一列对X求偏导，将各列构成一个矩阵。

重要结论：

dX'/dX = I

d(AX)'/dX = A'


4. 列向量Y对行向量X’求导：

转化为行向量Y’对列向量X的导数，然后转置。

注意M×1向量对1×N向量求导结果为M×N矩阵。

dY/dX' = (dY'/dX)'


5. 向量积对列向量X求导运算法则：

注意与标量求导有点不同。

d(UV')/dX = (dU/dX)V' + U(dV'/dX)

d(U'V)/dX = (dU'/dX)V + (dV'/dX)U'

重要结论：

d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + (dA/dX)X' = IA + 0X' = A

d(AX)/dX' = (d(X'A')/dX)' = (A')' = A

d(X'AX)/dX = (dX'/dX)AX + (d(AX)'/dX)X = AX + A'X


6. 矩阵Y对列向量X求导：

将Y对X的每一个分量求偏导，构成一个超向量。

注意该向量的每一个元素都是一个矩阵。


7. 矩阵积对列向量求导法则：

d(uV)/dX = (du/dX)V + u(dV/dX)

d(UV)/dX = (dU/dX)V + U(dV/dX)

重要结论：

d(X'A)/dX = (dX'/dX)A + X'(dA/dX) = IA + X'0 = A


8. 标量y对矩阵X的导数：

类似标量y对列向量X的导数，

把y对每个X的元素求偏导，不用转置。

dy/dX = [ Dy/Dx(ij) ]

重要结论：

y = U'XV = ΣΣu(i)x(ij)v(j) 于是 dy/dX = [u(i)v(j)] = UV'

y = U'X'XU 则 dy/dX = 2XUU'

y = (XU-V)'(XU-V) 则 dy/dX = d(U'X'XU - 2V'XU + V'V)/dX = 2XUU' - 2VU' + 0 = 2(XU-V)U'


9. 矩阵Y对矩阵X的导数：

将Y的每个元素对X求导，然后排在一起形成超级矩阵。

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这是以前学习时的例子 对于矩阵
[ s*cos(t), t^2*log(s)]
[ 2^s*sin(2*t), s^3*log(2+t)]求两个列向量jacobian矩阵
代码:
%-- 09-4-7 下午12:15 --%
syms s t
f=[s*cos(t) t.^2*log(s);2.^s*sin(2*t),s.^3*log(2+t)]
%提取列
B1=f(:,1)
B2=f(:,2)
%v=[s t]指定进行变换的变量组成的行向量
v=[s t]
B1jacobian=jacobian(B1,v)
B1jacobian=jacobian(B2,v)
结果如图