原创 “病态”、“数学怪物”的画廊——复平面中的神奇迭代

“病态”、“数学怪物”的画廊——复平面中的神奇迭代

     有一段时间 google
的图标变成下面这个样子，很多人不明白，这是什么意思，其实这是为了纪念法国数学家Gston
Julia是，他发现了在数论中有名的julia序列，就是在这个google
LOGO上面看到的数学公式。通过这个数学公式可以在解析几何上实现分形。

     在复平面上，水平的轴线代表实数，垂直的轴线代表虚数。每个Julia集合（有无限多个点）都决定一个常数C，它是一个复数。现在您在复平面上任意取一个点，其值是复数Z。将其代入下面方程中进行反复迭代运算：         


      就是说，用旧的Z自乘再加上C后的结果作为新的Z。再把新的Z作为旧的Z，重复运算。
当你不停地做，你将最后得到的Z值有3种可能性：
1、Z值没有界限增加（趋向无穷）
2、Z值衰减（趋向于零）
3、Z值是变化的，即非1或非2

     趋向无穷和趋向于零的点叫定常吸引子，很多点在定常吸引子处结束，被定常吸引子所吸引。   非趋向无穷和趋向于零的点是"Julia集合"部分，也叫混沌吸引子。
问题是我们怎样才能让计算机知道哪一个点是定常吸引子还是"Julia集合"。

一般按下述算法近似计算：
n=0;
while
((n++ < Nmax) && (( Real(Z)^2 + Imag(Z)^2) <
Rmax))
{
Z=Z*Z+C;
}
其中：Nmax为最大迭代次数，Rmax为逃离界限
退出while循环有两种情况，第一种情况是：
(Real(Z)^2
+ Imag(Z)^2) >=
Rmax
属于这种情况的点相当于"1、Z值没有界限增加（趋向无穷）"，为定常吸引子,我们把这些区域着成白色。第二种情况是：
n
>= Nmax
属于这种情况的点相当于"2、Z 值衰减（趋向于零）"或"3、Z
值是变化的"，我们把这些区域着成黑色。黑色区域图形的边界处即为"Julia集合"。"Julia集合"有着极其复杂的形态和精细的结构。
黑白两色的图形艺术感染力不强。要想得到彩色图形，最简单的方法是用迭代返回值n来着颜色。要想获得较好的艺术效果，一般对n做如下处理：
Red
= n*Ar+Br;
Grn = n*Ag+Bg;
Blu = n*Ab+Bb;
if ((Red
& 0x1FF) > 0xFF) Red = Red ^ 0xFF;
if ((Grn &
0x1FF) > 0xFF) Grn = Grn ^ 0xFF;
if ((Blu & 0x1FF)
> 0xFF) Blu = Blu ^
0xFF;
其中：Ar、Ag、Ab及Br、Bg、Bb为修正量
获得的Red、Grn、Blu为RGB三基色，着色效果为周期变化，具有较强的艺术感染力，而且等位线也蕴藏在周期变化的色彩之中。
你可以想象得出，在屏幕上顺序的试用每个像素点来反复迭代方程要花费很长的时间。一幅
1024x768
屏幕尺寸的画面有786432个点。其中一些点在计算机上要反复迭代方程次数达1000次（取决于Nmax的取值）或更多次才放弃运算。运算产生一幅Julia集合需要花费很长的时间，有时需要产生一幅做海报用的大图像时，如
10240x7680，要花几天的时间。当然，你使用高速计算机会缩短这个时间。图
4、5、6是三幅Julia集合：

图 4
象尘埃一样的结构

图 5
稳定的固态型

图 6
象树枝状

Mandelbrot
集合和Julia集合的联系

     
将Mandelbrot集合和Julia集合联系在一起，Julia集合有若干类型，都包含在Mandelbrot集合之中。Julia集合中的C是一个常量，而Mandelbrot集合的C是由进入迭代前的Z值而定。迭代结果，Z值同样有3种可能性，即：
   
1、Z值没有界限增加（趋向无穷）
    2、Z值衰减（趋向于零）
   
3、Z值是变化的，即非1或非2

    
Mandelbrot集合是所有的朱莉娅集合的合并，Mandelbrot集合的某个区域放大后就是这个点的Julia集合。
Mandelbrot集合有着一些很异国情调并且古怪的形状（见图1）。你能不停地永远放大Mandelbrot集合，但是受到计算机精度的限制。

　

Newton/Nova 分形

    

Newton奠定了经典力学、光学和微积分学的基础。但是除了创造这些自然科学的基础学科外，他还建立了一些方法，这些方法虽然比不上整个学科那么有名，
但已被证明直到今天还是非常有价值的。例如，牛顿建议用一个逼近方法求解一个方程的根。你猜测一个初始点，然后使用函数的一阶导数，用切线逐渐逼近方程的
根。如方程 Z^6 + 1 =
0有六个根，用牛顿的方法"猜测"复平面上各点最后趋向方程的那一个根，你就可以得到一个怪异的分形图形。和平常的Julia分形一样，你能永远放大下
去，并有自相似性。牛顿分形图形中的颜色显示每个答案的种类及性质，即迭代到目的地花费的时间，如图7所示：

图7 Newton分形

    

图 8 Nova分形