标签: 采样定理

简介 ADC 应用中，最为重要的东西就是时钟，时钟的指标衡量 ADC 性能的关键因素，如何衡量时钟的指标变得尤为重要的迫切，本文是“如何评估采样系统时钟要求”第二部分，主要描述时钟系统的相位噪声和抖动转换 。文章的第一部分结尾提出用 FFT 技术测量抖动，但这种方法存在两点不足。 首先，如果在 FFT 处理过程中用到窗口法，频谱分辨率会因窗口脉冲响应而模糊。其次，对于大多数合理大小的 FFT 而言，该频谱分辨率非常有限。例如，如果使用的编码速率为 61.44 MSPS ，且执行 64K FFT ，则每个 FFT 频段 (bin) 代表的带宽约为 938 Hz 。据此可以预计，多个 FFT 频段中的时钟噪声会因频谱模糊而丢失，使存在大量相位噪声的基波任一侧丢失数 kHz 的信息。即使执行的是同步 FFT 且未使用窗口，仍然至少存在一个 FFT 频段限制，代表带宽约为 1 kHz 。从近载波相位噪声的角度来看，大部分能量通常包含在时钟源周围的前几千赫兹的带宽中。因此，使用 FFT 法来估算抖动时，会丢 失大部分时钟噪声。然而，由于目标通常是测量宽带 SNR ，因此用这种方法来测量 ADC 的宽带性能一般是可以接受的。 由于转换器的位置如今更加靠近这些信号链中的天线，设计技术和支持元件也已发生变化，关注重点也已从时域特性转移到了频率特性，作为信号采集设计师，抖动对于是从时域去考量一个 ADC/DAC 的时钟指标，但是随着时钟频率的提升，比如射频直接采样 ADC 可能需要 GHz 级别的时钟，从时域上去标定这个时钟往往是不够的，所以需要从频域去标定时钟的好坏，也就是时钟偏差在频域的表现，即时钟相位噪声。结合相位噪声和抖动指标，再去选择系统所需要的时钟，才能充分发挥数据转换器的性能。 2.3 噪声类型 作为 ADC 的采样时钟，很多时候正弦波是高速 ADC 的主要时钟波形，因为与方波等其他波形相比，它更易于产生、传输以及匹配 RF 频率，在数学 上，正弦波可以描述如下： 其中 c （ t ）为载波时钟， Ac 为载波幅度， ωc 为角频率， t 为时间 通过以正弦波作为 ADC 采样时钟的数学表达式可知，此时采样时钟是一个纯的单音信号，如果时钟出现偏差那么其数学表示也随之变化，从表达式可知时钟信号可能会出现三种偏差，幅度偏差、频率偏差、相位偏差。那么这些偏差对时钟质量的影响有多大，我们可以通过在采样时钟增加对应的调制来观察，比如 AM 、 PM 调制等，观察时钟时域的频域波形的变化。 2.3.1 时钟噪声的幅度噪声以幅度调制 (AM) 获取 假设在时钟信号上进行一个幅度调制（ AM ），研究载波与噪声之间的关系是怎么样的 已知时钟表达式为： 在时钟上增加一个幅度调制： cAM(t) 为带 AM 噪声的载波 ( 时钟 ) ， Ac 为载波幅度， An 为噪声幅度， ωn 为噪声角频率。 AM 调制产生两个分量：一个低于载波频率，一个高于载波频率。因此，通常将这种调制称为双边带 (DSB) 。这两个分量的相位也与载波相位对齐，它们全都是正弦曲线。 图 2.4 AM-DSB 调制信号的相量图 图 2.4 中的信号相量图以更直观的方式揭示了相位关系。 sinωct 载波处在 90° 相位，方向为垂直向上。相比于作为参考的载波，两个噪声分量以 ωn 的角速度沿相反方向旋转。因此，其和始终是一个与载波共线的矢量。换言之，幅度噪声总是与载波同相。图 2.5 所示为这种 AM 调制信号的频谱。也就是说幅度调制之后，幅度调制的噪声出现在 ADC 采样采样时钟的两边，进入到最终的时钟信号中去。 图 2.5 AM-DSB 调制信号的频谱 2.3.2 时钟噪声的相位噪声以相位调制 (PM) 获取 假设在时钟信号上进行一个相位调制（ PM ），研究载波与噪声之间的关系是怎么样的 已知时钟表达式为： 在时钟上增加一个相位调制： 在此情况下， An 可被称为相位调制指数。如果 An<< 1 ，则 这样就可以简化 PM 等式： 两个噪声分量的频率与 AM-DSB 情况相同。唯一不同的是相位，其与 AM-DSB 信号相差 90° 。因此，其和始终与载波正交。如图 2.6 和图 2.7 相量图和信号频谱有助于我们形象地了解信号。 图 2.6. 低调制指数 PM 信号的相量图 该图还显示了频谱分析的一个固有问题： AM-DSB 信号和低调制指数 PM 信号的频谱不可区分。 AM 和 PM 噪声常常同时存在，实测频谱是其各自频谱的结合。 图 2.7. 低调制指数 PM 信号的频谱 但是高、低调制电平的 AM 调制在重要性上均远低于具有类似调制电平的相位项或频率项。另外，在采样过程中，相位噪声和频率噪声影响会造成相似的性能下降，二者之间的唯一差别在于：相位调制与频率调制在调制信号的衍生特性上是相同的频谱，所以频率调制不做赘。 2.4 相位 / 频率调制对采样的影响 如 2.3 节分析时钟噪声类型，对于时钟而言三类噪声影响都是存在的，采样的过程中这些噪声是怎么跟随时钟进入到信号的频谱上的，还是需要分析和理论的推导，首先我们应该理解采样的过程，再去分析相位 / 频率噪声对采样的影响。 2.4.1 模拟信号的离散采样 模拟信号是一个时间连续和幅度连续的波形，在离散采样时，采集系统以离散时间间隔 对信号进行采样，转换成时间不连续、幅度不连续的离散信号。采集的时间间隔 越快，转换的数字信号能更精确反应模拟信号，采集时间间隔越慢，则可能不能还原出原来的模拟信号，由此引出模拟信号的采集的奈奎斯特定理和香农定理。模拟信号的离散采样，波形如图 2.8 。 图 2.8. 模拟信号的离散采样 采样过程在时域中是一个乘法过程，因此在频域中是一个卷积过程。混频器将时域中的两个模拟信号相乘，其结果为这两个信号在频域中的卷积，这一点非常明显，但采样过程同样为时域中的一个乘法过程，并不显而易见。实际上，单位脉冲与时域中的模拟输入相乘，也即频域中的卷积。 假设模拟输入的信号为 ，表示为连续的模拟信号输入波形。采样的脉冲为 ，表示为理想的采样的函数。 时域上： ，时域上两个信号相乘 时域上： ，时域上两个信号相卷 单位脉冲的时域传递函数： 单位脉冲的频域传递函数： 模拟信号的离散采样，在频域上的传递函数为： 由这个传递函数可知，采样信号的离散的传递函数，模拟信号的以采样速率在频谱上无限上叠加。如图 2.9 所示，模拟信号本身，在 的左右边带产生信号，也可以理解为信号在 发生混频，产生一个差频分量和和频分量，对于过采样而言，相对于信号的镜相分量。 图 2.9 使用理想采样器以 f s 频率进行采样时模拟信号 f a 具有镜像 从实际的采样过程而言，时钟与模拟输入之间的卷积不仅在如上所示的全频谱下有效，从微观上来看也同样有效。这对于集中于时钟周围的频谱细节也同样成立，因为这些细节与集中于模拟信号周围的频谱细节进行卷积。时钟周围集中的任何相位噪声都将与模拟输入进行卷积，这会使数字化模拟信号的频谱形状失真。所以时钟噪声为什么如此重要，尤其是相位噪声，在微观上噪声会出现在信号的周围。 2.4.2 模拟相位噪声对采样的影响 但是由于很难观察到时钟周围的相位噪声，因此利用正弦相位调制在 ADC 时钟端施加一个 PM 调制信号，在模拟输入端施加一个纯 CW 音，通过将 PM 调制时钟源与纯 CW 音进行卷积来仿真相位噪声离散频率线对采样结果的影响。 图 2.10 时域的波形上采样过程 从时域波形分析其目的是求出时钟和输出的噪声幅度之比，如图 2.10 中的红色箭头所示：可以画直角三角形，虽然任一边长都不知道，但两个三角形有共同的水平边，设斜率为相应波形的导数，根据几何可得出以下等式： 针对 ADC 噪声重新整理，得出下式： 常常对正弦或接近正弦的 DAC 输出和时钟波形感兴趣，所以上述结果可进一步简化。 简化后的等式适用于采样系统，并假设编码信号采用正弦形式。如果编码信号为逻辑信号形式，压摆率将与编码信号的频率无关，应根据制造商提供的数据手册进行确定，或者直接进行测量。 Vclk_noise_ 为经过相位调制的单边带信号的电平，或者表示时钟信号上的调制相位噪声的单频率线。 Vclk 为时钟的均方根电平， Vsignal 为主模拟信号的均方根电平， fclk 为时钟频率， fsignal 为主模拟信号的频率。 由于许多时钟设计师采用的单位为 dBc ，因此可将等式转换成对数形式，即可轻松算出所需或预期的相位噪声性能。在该等式中，第一项 (NoiseADCout) 为合成噪声单位为 dBc ，其中，基准源为主输出信号电平（即结果以 dBc 为单位）。第二项 (NoiseCLKin) 为时钟中相对于主时钟电平的噪声（单位为 dBc ），代表给定偏移下的噪声或信号能量。第三项是模拟输入频率与采样速率的对数比率。 有了上述的公式，在时钟源上施加一个 PM 调制就可以量化出 ADC 采样之后，相位调制带来的影响，假设如图 2.11 所示，时钟源为一个 78 MSPS 源，相位为 100 kHz ，调制偏差为 0.001 弧度。由于调制角较小，因此在噪底以上仅有第一边带是可见的。相对于编码源的主载波功率，第一边带约为 –66 dBc 。 图 2.11. 相位调制编码源的频谱 时钟噪声的谱线为 -66dBc 。这就是用于 NoiseCLKin 的值。为了确定相对输出，必须弄清模拟频率和编码频率之间的关系。假设模拟频率分别设为 30.62 MHz 和 108.62 MHz 。输出频谱上的杂散电平可用刚才推导公式计算。 并且 等式可有效预测转换器对给定模拟输入和编码激励的情况下，预测 ADC 输出杂散电平的幅值，根据两个测量值之间存在性能下降。如果只比较 SNR( 以侧音为主 ) 或杂散，则随着频率的增加，抖动或是相位噪声会如预期般导致性能下降。可以预计，输入频率每增加一倍 ( 模拟输入压摆率增加一倍 ) ，则抖动导致的能量会增加 6 dB ，从相位噪声的角度去衡量更为直观。 2.4.3 时钟宽带噪声对采样系统的影响 时钟的宽带噪声非常重要，近载波噪声也同样重要，它与宽带噪声有着相同特性，但两者的总体影响略有差异。信道带宽之外的噪声或多或少都会均匀地加大整体噪声，而近载波噪声会导致相互混频，且只影响邻近信号。多数情况下，编码电路的带宽会扩展到数百 MHz ，对于高动态范围转换器甚至可能扩展到 GHz 范围。编码电路传递的频谱即是在采样过程中与目标模拟输入进行卷积的频谱。 图 2.12. 编码时钟的典型频谱，表示从直流到 ADC 编码输入的带宽 应该明确的是，编码信号与目标模拟输入进行卷积，导致时钟的频谱形状出现在模拟信号上，如图 2.12 所示。然而由于该 ADC 是采样系统，采样时钟的宽带噪声也会混叠到目标频带中，这样就使进入编码端的所有宽带噪声都混叠到奈奎斯特频带中，这会导致严重的噪声积聚并使 SNR 显著降低。 图 2.13. 编码时钟在采样后的典型频谱 如图 2.13 所示，所有宽带噪声都混叠于奈奎斯特频谱中，造成能量积聚并有可能增大到超过近载波相位噪声中的功率。假设编码带宽为 750MHz ，对于 61.44 MSPS 的时钟，来自该带宽的噪声会混叠 24 次以上。其结果是，宽带抖动导致的噪声频谱密度增加了将近 14 dB( 在低模拟频率下，量化噪声和热噪声对 NSD 起决定作用 ) 。相比之下，近载波噪声 ( 指目标信号的带宽 ) 显然不能混叠，因此只会发生一次作用。这一现象对于具体实施工作的影响在于，足够宽时钟频率范围至关重要，但限制时钟的宽带噪声量对充分发挥转换器性能也同样重要，因此两者之间的权衡取舍十分微妙。 2.4.4 相位噪声到时间抖动的转换 由于相位噪声与抖动之间存在直接关系，因此可将其相互关联起来。使用数据转换器时，一般认为宽带噪声是最重要的指标。下图显示了一个典型晶体时钟振荡器的宽带噪声特性。需要注意是，该计算方式忽略了近载波噪声 (1/fn) 。 图 2.14. 一个典型晶体时钟振荡器的宽带噪声特性 为了确定抖动，第一步是求出总噪声功率，方法是在整个带宽 ( 本例为 10 kHz 频率偏移到 350 MHz) 内对噪声求积分。由于 10 kHz 远低于 350 MHz ，因此 10 kHz 这一下限对宽带白噪声的计算结果几乎没有影响。对数域中的积分就是简单的加法运算。因此，总噪声功率为 下一个目的是确定调制角。为此，必须根据观测到的相位噪声功率进行计算。由于调制相量与主载波呈 90 度角，因此，通过确定相对于主信号电压的噪声电压，即可推断出由此形成的小角。由于假定调制角较小，角度值约等于由于两个可测量（即载波电压和噪声电压）所决定的斜率。由于得到的测量值是功率值，因此必须转换成伏特值，具体方法是将功率乘以阻抗，然后取平方根。由于我们需要的是同一负载上的两个功率之比，因此阻抗会根据等式而下降。同样，由于功率单位为 dBc ，而主信号为我们的基准信号，不难看出，剩下的项只是所测相位噪声的项，必须从 dBc 转换成功率单位。取结果的平方根可得到如下例所示的角度。由于相位噪声通常出现在时钟的两端，因此必须将通常使用的单边带数值增加一倍，以包含另一边带中的噪声。以下面等式中平方根符下的项乘以 2 来实现这个要求 ( 假设边带与宽带噪声不具相关性 ) 。 图 2.15. 极域中的采样时钟 由于这属于旋转矢量，因此需要用以弧度表示的相位抖动除以角频率 2πfclk ，以确定回转通过相角所需时间。计算结果为均方根抖动。 有了这一基本了解，我们接下来考虑更复杂的例子，也就是将曲线的不同区域独立求积分，然后相加求出总的抖动结果。 如图 2.16 所示，分析一个复杂的时钟曲线来获取从相位噪声转换在时钟抖动的分析。 图 2.16. 晶体时钟振荡器相位噪声特性 在此例中，图 2.17 所示在曲线上定义了四个点要确定任一区域的面积，可利用梯形面积法则算出 “ 平均 ” 噪声密度；具体而言，平均噪声功率位于两个拐角频率之间的中点上。借助 Leeson 方程来预测曲线下的面积，可在 1/f 区获得更好的精度，但对一阶运算来说，这种方法在精度上足够满足要求。例如，在 100 Hz 和 1000 Hz 之间的区，两个拐角频率分别为 –120 dBc/Hz 和 –150 dBc/Hz ，其中点为 –135dBc/Hz 。将该值作为高度项，频率区间为 900 Hz ，则该区域的噪声为： 利用前面的等式，将结果先转换成相位抖动，然后转换成时间抖动，结果得到第一区的抖动，约 10 飞秒。其他区可采用同一方法。第二区的抖动结果为 20 飞秒，第三区的抖动结果为 193 飞秒，总的时钟抖动为 194.291 飞秒。 图 2.17. 实际晶体时钟振荡器相位噪声特性 如上所示，虽然可以通过宽带 SNR 和噪声频谱密度来确定宽带抖动，但近载波噪声却有所不同。近载波相位噪声 ( 即 1/fn) 最好通过相互混频计算。当强信号出现在目标弱信号附近时，即会发生相互混频现象。如果时钟 ( 或本振 ) 相位噪声与干扰信号混合，会增加目标信号的噪底。如果相位噪声足够大，则可能其功率超过目标弱信号，并导致信号损耗。 通过“ 如何评估采样系统时钟要求”第二部分时钟系统的相位噪声和抖动转换推导和分析，得出时钟源的相位噪声/抖动对ADC采集系统的影响给出理论的推导公式，给时钟选择提供了依据，也为 如何评估采样系统时钟要求提出了理论依据。在第三部分，将体现如何对时钟系统进行设计、具体的设计实例分析及实测参数分享 。