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  自己理解的正弦波正弦量、平均值、有效值的推导 wxleasyland@sina.com 2013.1.30   有点忘记怎么推导了，自已再重新理解下。   一、基本公式 对于一个时间函数的正弦波：   即函数是u＝F(t)，注意u≠sin(t)，F≠sin。 但是它是一个正弦波，故u＝sin(￡)，￡与t存在关系 即：u＝F(t)＝sin(￡)，￡与t存在关系，￡的单位是角度，t的单位是秒。sin只能对“角度”，不能对“秒”。“秒”要转换成“角度”才能sin。 现在来求解￡是什么，发现： O点，t＝0时，￡＝0 A点，t＝T时，￡＝2π B点，t＝2T时，￡＝2×2π 即￡与t的关系是 ￡＝（2π/T）×t   故得：u＝F(t)＝sin(￡)＝sin(（2π/T）t)  ！！！！   另， 角速度＝2π/t 角频率ω＝2π/T＝2πf，T为周期，f为频率 故最终： u＝sinωt    ！！！！   即t乘以ω后，就变成角度了，ωt是角度，就可以sin了！       二、对于各种提前、延后的情况：   即 sin函数里面的都是角度 ！ 时间需要乘以ω转成角度。 角度要转成时间，就要除以ω。 π／2＝ω×T／4，即T／4相当于是π／2。     三、平均值   时间和角度是相当的，角度可以代替时间去计算，这就方便多了。   1. 正弦波平均值肯定为0。   把角度当作时间来简化计算。 把2π当作周期T，把小片段角度d￡当作小片段时间dt。 在一个周期T内的平均值，即是∫u×dt／T，即相当于∫u×d￡／2π 用角度时：u=sin￡ 则∫u×d￡／2π＝∫sin￡×d￡／2π 在0～2π区间作积分：   故∫sin￡d￡／2π＝(－cos2π＋cos0)/2π＝0   2. 全波整流的平均值：   只要计算0～π即可： ∫sin￡d￡／π＝(－cosπ＋cos0)/π＝2／π＝0.6366 即平均值＝峰值的0.6366倍。       3. 半波整流的平均值   计算0～π,但周期要按2π算： ∫sin￡d￡／2π＝(－cosπ＋cos0)/π＝2／2π＝0.3183 即平均值＝峰值的0.3183倍。                 四、有效值   时间和角度是相当的，角度可以代替时间去计算，这就方便多了。   1. 正弦波有效值 把角度当作时间来简化计算。 把2π当作周期T，把小片段角度d￡当作小片段时间dt。 在一个周期T内的有效值，即是计算一个周期T内的热量值相同的等效电压： 一个周期T内的热量值（假设电阻R＝1）：∫u^2×dt，即相当于∫u^2×d￡ 用角度时：u=sin￡ 则∫u^2×d￡＝∫sin 2 ￡×d￡ 在0～2π区间作积分：   故∫sin 2 ￡d￡＝（2π／2－1／4×sin4π）-（0／2－1／4×sin0）＝π   等效电压Uo产生的热量值＝Uo^2×2π等于∫sin 2 ￡d￡＝π 故：Uo^2×2π＝π 最终得：Uo＝0.707 即有效值等于峰值的0.707倍     2. 全波整流的有效值： 只要计算0～π即可： 故∫sin 2 ￡d￡＝（π／2－1／4×sin2π）-（0／2－1／4×sin0）＝π／2 故：Uo^2×π＝π／2 最终得：Uo＝0.707 即有效值等于峰值的0.707倍       3. 半波整流的有效值 只要计算0～π，但周期要按2π算： 故∫sin 2 ￡d￡＝（π／2－1／4×sin2π）-（0／2－1／4×sin0）＝π／2 故：Uo^2×2π＝π／2 最终得：Uo＝0.5 即有效值等于峰值的0.5倍     五、汇总     平均值 有效值 正弦波 0 峰值的0.707倍 全波 峰值的0.6366倍 正弦波有效值的0.9倍 峰值的0.707倍 半波 峰值的0.3183倍 正弦波有效值的0.45倍 峰值的0.5倍     总之，sin函数里面一定是角度。时间需要乘以ω转成角度。角度可以等效成时间来计算。