原创 整流交流电的平均值与有效值

有人置疑“交流平均值为0”的说法，这个说法其实是没问题的。这是“原本”的概念。函数x的平均值就是数学期望值E【x】，“纯交流信号”又可以称为“零均值信号”或“无偏信号”。
但对交流电，有时也指正半周的内的平均值，这是一种习惯。因为大家都知道“交流平均值为0”，所以实用中把“交流电的平均值”理解为“有用的那个平均值”，即“假设把它全波整流后的平均值”。我觉得关系就是这样。
这个问题首先要分清“整流”电路和“整流滤波电路”。
假设原始交流电为sinωt，峰值VP为1，有效VRMS值为0.707。所谓RMS即均方根值，即VRMS=(∫sin2ωt)/T,T→∞，这也是“有效值”的严格术语，它反映了“能量”的本质即幅度的平方。
全波整流电路：
全波整流就是求绝对值，所以：
平均值V’AVG＝E[|sinωt|]＝2/π＝0.6366＝0.9VRMS
有效值V’RMS＝VRMS（因为绝对值函数保守能量，或者| sinωt |2＝sin2ωt）
全波整流＋滤波电路：
容易糊涂的地方在于通常认为“滤波＝平滑＝取平均”，既然是“绝对值＋平均”，那滤波不正是求出了上面的“E[|sinωt|]”吗？是的，如果全波整流后在加个正规的LPF，那的确是E[·]。
但此“滤波”非彼“滤波”。这个“滤波”是工程师的通俗用语，其严格名词是“峰值保持器”。
整流是非线性运算，这个非线性电路与电容器配合，实现的并不是“正规的”LPF，而是“保持正最大值”，空载下得到的是直流波形，所以：
瞬时值＝平均值＝有效值＝VP
带负载（假设为纯电阻R）就近似是个“周期充放电电路”，充电阶段波形完全跟踪|sinωt|，放电阶段就是个RC指数衰减曲线。知道R，甚至可以给出整个波形的理论公式。但为了方便，一般认为放电过程近似恒流放电，也就是直线下降：斜率K=ΔV/Δt≈dV/dt＝I/C，波形近似为锯齿波。锯齿波的最高点VMAX＝VP，峰－峰值（纹波）VR＝ΔV＝KΔt，Δt就是“半周期T/2”，所以：
VR＝KΔt＝(I/C)(T/2)＝IT/2C
最低点VMIN＝VMAX- IT/2C
平均值V”AVG≈(VMIN+VMAX)/2＝VMAX-ΔV /2＝VP-IT/4C
有效值V”RMS≈V”AVG（当纹波不大时，忽略“高阶小量”。它的极限情况很容易理解：直流的有效值就是它本身）