原创 正定矩阵

正定矩阵

定义：设f是一个实对称双线性函数，而且对任意向量α∈V有f（α，α）>0，就称f是正定的（positive definite）。具有同样性质的时对称矩阵A，也就是说对于任意的实非零列矩阵X有X^TAX>0的矩阵也被称为正定的。

1.1．       若A，B∈Mn（K）都是正定矩阵，则A+B，kA也是正定的（k>0）。

证明：若A，B都是n阶正定矩阵，则任取X，有X^TAX >0，X^TBX >0

则X^T（A+B）X = X^TAX + X^TBX >0

 
X^TkAX
= kX^TAX
>0

即：A+B ，kA都是正定矩阵。□

1.2．       A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：A的正惯性指数等于A的维数n。

证明：（）若A是正定矩阵，则存在V中的一个基η₁η₂……ηn，使对V中的任意向量α=，β=,双线形函数f有:

f（α，β）= x₁y₁+ x₂y₂+……+ x_py_p- x_p+1y_p+1-……- x_ry_r

若p<n，有f（η_n，η_n）≤0，与f是正定的矛盾

∴ 推出：p=n

         
（）若p=n，则任取α(≠0)∈V，f（α，α）=x₁² +x₂²
+……+x_n²>0

               
∴ f（α，β）是正定的

               
∴ A是正定的。□

1.3．       A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：A相合于单位矩阵E。

证明：（）任取正定矩阵A，它对应唯一的正定双线形函数f，且存在V上的一组基：η₁η₂……ηn，使任取向量α=，β=,双线形函数f有:

f（α，β）= x₁y₁+
x₂y₂+……+ x_ny_n

即：diag(1,1……1)（把E用矩阵形式画出）

则A与E是双线形函数f在不同基下的度量矩阵，所以A相合于E。

         
（）若A相合于E，则存在实可逆矩阵T，使A=T^TET= T^TT

               
∴ X^TAX = X^T T^T ATX = (TX)^TA(TX) = a₁²x₁² + a₂²x₂² +……+ a_n²x_n²>0

               
∴ A是正定的。□

1.4．       A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：存在n阶实可逆矩阵C，使A=C^TC。

证明：（）若A是正定矩阵，则由1.3可知，A相合于E

          
∴存在实可逆矩阵C，使A = C^TEC = C^TC

        （）若A=C^TC，C是实可逆矩阵

             
则X^TAX = X^T C^T ACX = (CX)^TA(CX) = a₁²x₁² + a₂²x₂² +……+ a_n²x_n²>0

         
∴A是正定的。□

1.5．       A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：A的所有顺序主子式大于零。

证明：（）

1.6．       A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：A的所有特征值大于零。

证明：（）

1.7．       A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：A^-1是正定矩阵。

证明：（）若A是正定的，则由1.4可知：存在实可逆矩阵C使A=C^TC

     ∴A^-1 = (C^TC) ^-1 = C^-1 (C^-1) ^T

∵C可逆 ∴C^-1也是实可逆矩阵

∴有A^-1也是正定矩阵。

（）若A^-1是正定矩阵，则A^-1 
= C^-1
(C^-1) ^T = (C^TC) ^–1

∵A =( A^-1) ^–1 = ((C^TC) ^–1) ^–1= C^TC

∴由1.4可知，A是正定的。□

1.8．       A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：A^m是正定矩阵。

证明：（）

1.9．       A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：存在非退化的上（下）三角矩阵Q，使A=Q^TQ。

证明：不妨以下三角为例来证明，上三角的情况同理

（）若A=(a_ij)是n阶正定矩阵，则A的任意k阶主子式大于零。

特别的，有a_nn>0。

将A的第n列乘适当的倍数，分别加到第1，2……n-1列上，再施同样的行变化，可使A变成为的形式。

即：存在非退化的下三角矩阵T₁

使：T₁^TAT₁
=   

再令T₂
= diag（1 1……1 ）

∴T₂^TT₁^TAT₁T₂ =

∵A正定  ∴A1作为A的n-1阶顺序主子式，也是正定的。□

对A1做同样处理，最终可得到R₂^TR₁^T
……T₂^TT₁^TAT₁T₂……R₁R₂ = En

令Q = T₁T₂……R₁R₂   ∴Q是非退化的下三角矩阵，且使A = Q^TQ  

1.10．   A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：存在正交向量组α₁ ，α₂……αn，使A=α₁α₁^T+α₂α₂^T+……αnαn^T

1.11．   若A∈Mn（K）是正定矩阵，则A^*也是正定矩阵。

1.12．   A∈Mn（K）是正定矩阵的充要条件是：A的所有i阶主子式之和大于零。

半正定矩阵

定义：设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有X^TAX≥0，就称A为半正定矩阵。

2.1． A∈Mn（K）是半正定矩阵的充要条件是：A的正惯性指数等于A的秩。

2.2． A∈Mn（K）是半正定矩阵的充要条件是：存在n阶实可逆矩阵T，使T^TAT=（）。

2.3. 
A∈Mn（K）是半正定矩阵的充要条件是：存在n阶实矩阵S，使A=S^TS。

2.4.  A∈Mn（K）是半正定矩阵的充要条件是：A的所有顺序主子式大于或等于零。

2.5.         
若A∈Mn（K）是半正定矩阵，则A^*也是半正定矩阵。

负定矩阵

定义：设A是实对称矩阵。如果对任意的实非零列矩阵X有X^TAX<0，就称A为半正定矩阵。

3.1. 
A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：-A是正定矩阵。

3.2. 
A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：A^-1是负定矩阵。

3.3. 
A∈Mn（K）是负定矩阵的充要条件是：A的所有奇数阶顺序主子式小于零，所有偶数阶顺序主子式大于零。

不定矩阵

定义：设A是实对称矩阵。如果A既不是半正定的，也不是半负定的，就称A为不定矩阵。

4.1.         
若A∈Mn（K）是不定矩阵的充要条件是：存在列向量组X，Y，使得XTAX>0，YTAY<0。

4.2.         
若实对称矩阵A的主对角线上元素有正有负，则A一定是不定矩阵。