原创 Lab3：无限冲激响应低通滤波器的设计

Lab3：无限冲激响应低通滤波器的设计
一iir原理：
时域分析：
设输入序列为x[n]，输出序列为y[n]，则
Y[n]=a0*x[n]+a1*x[n-1]+…+ai*x[n-i]
  -(b1*y[n-1]+ b2*y[n-2]+…..+ bj*y[n-j])（即与y有关）
对于iir的设计实际便是对于a0~ai与b1~bj系数的确定。
频域分析：
设输入序列为x[n]，输出序列为y[n]，x[n]序列的离散时间傅立叶变换X(ejw) ,Y[n]序列的离散时间傅立叶变换Y(ejw).
则：Y(ejw)= X(ejw)*H(ejw)。
其中H(ejw) =（a0*z-0+a1*z-1+ a2*z-2+…+ ai*z-i）/
（1*z-0+b1*z-1+b2*z-2+ b3*z-3+…+ bj*z-j).
即：即有分母，又有分子。

二 理解：
Conv(y,b)=conv(x,a)其中b0！=0（多为1）
即为输出序列y与系数序列b的卷积
等于输入序列x与系数序列a的卷积。
三  设计方法：
首先分析出滤波器的性能（wp，ws，Rp，Rs）。
直接设计方法：
(直接求出数字滤波器的系数序列)
1：首先利用阶数估算函数以及性能指标wp，ws，Rp，Rs作为函数输入。直接求数字滤波器的出最低阶数N与归一化截止频率Wn。
2：然后利用N,Wn,和一些参数去求出数字滤波器的系数序列a与b
3：利用freqz函数观察结果。（可省）
脉冲响应不变法设计：
(先求出模拟滤波器的系数序列，再转换为数字滤波器的系数序列)
1：首先利用阶数估算函数以及性能指标wp，ws，Rp，Rs作为函数输入。先求模拟滤波器的出最低阶数N与归一化截止频率Wn。
2：然后利用N,Wn,和一些参数去求出模拟滤波器的系数序列a与b
3：利用freqs函数观察结果。（可省）
4：利用impinvar（）函数把模拟滤波器的系数序列转换为数字滤波器的系数序列
5：利用freqz函数观察结果。（可省）
双线性变换法设计：
(先求出模拟滤波器的系数序列，再转换为数字滤波器的系数序列)

1：首先利用阶数估算函数以及性能指标wp，ws，Rp，Rs作为函数输入。先求模拟滤波器的出最低阶数N与归一化截止频率Wn。
2：然后利用N,Wn,和一些参数去求出模拟滤波器的系数序列a与b
3：利用freqs函数观察结果。（可省）
4：利用bilinear（）函数把模拟滤波器的系数序列转换为数字滤波器的系数序列
5：利用freqz函数观察结果。（可省）

四 matlab所用函数
4.1滤波器函数（模拟与数字均可以求）
功能：      估算阶数函数    计算系数函数
巴特沃兹滤波器： buttord，     butter
切比雪夫I滤波器： cheb1ord，     cheby1
切比雪夫II滤波器： cheb2ord，     cheby2
椭圆滤波器：  ellipord，     ellip

说明：
对于所有的低通iir滤波器而言，其标准为

标准：
1通带的边频：wp 见图
2阻带的边频：ws 见图
3峰通带波纹：Rp=20*log10（       ）db （p86）
4最小阻带衰减：Rs=20*log10(A) db       （p86）
估算阶数的函数fn的统一用法：
[N,Wn]=fn（Wp，Ws，Rp，Rs）
说明：参数见上图
   返回值：N=满足指标的最低阶数，Wn=归一化截止频率
注意：也可以计算高通与带通滤波器。
计算系数的函数fc的统一用法（低通）
[num,den]=butter（N,Wn）
[num,den]=cheby1（N，Rp，Wn）
[num,den]=cheby2（N，Rs，Wn）
[num,den]=ellip（N，Rp，Rs，Wn）

注意：高通：参数还要加’high’高通    ,’stop’带阻,

注意：估算阶数函数与计算系数函数默认为求出数字滤波器（方法一）
若想求出模拟数字滤波器(方法二与三)，则在所用的函数的参数中加入’s’

4.2模拟滤波器的系数序列转换为数字滤波器的系数序列函数
bilinear（）双线性变换法
impinvar（）脉冲响应不变法
4.3结果的观察(直接画出幅频与相频曲线)
Freqz（）；看数字滤波器的频域响应
Freqs（）；看模拟滤波器的频域响应

五：matlab示例
例]  采样频率为 1Hz，通带临界频率 fp =0.2Hz，通带内衰减小于 1dB（αp=1）；阻带临界
频率 fs="0".3Hz，阻带内衰减大于 25dB（αs=25）。设计一个数字滤波器满足以上参数。

%直接设计数字滤波器
[n,Wn]=buttord(0.2,0.3,1,25); %无‘s’
[b,a]=butter(n,Wn); %无‘s’
freqz(b,a,512,1); %用freqz不用freqs
数字滤波器系数的序列a,b
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%a=1.0000   -4.5037    9.3614  -11.5644    9.2168   -4.8281    1.6174   -0.3159    0.0275
%b=0.0000    0.0003    0.0012    0.0024    0.0030    0.0024    0.0012    0.0003    0.0000
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%脉冲响应不变法设计数字滤波器
[n,Wn]=buttord(0.2,0.3,1,25,’s’); %有‘s’
[b,a]=butter(n,Wn,’s’); %有‘s’
freqs(b,a); %用freqs不用freqz
[bz,az]=impinvar(b,a,1);
freqz(bz,az,512,1);
模拟滤波器系数的序列a,b
数字滤波器系数的序列az,bz
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%a=1.0000    1.2550    0.7875    0.3225    0.0947    0.0206    0.0033    0.0004    0.0000    0.0000
%b= 1.0e-005 *
         0         0         0         0         0         0         0         0         0    0.1109
%az=1.0000   -7.7485   26.7606  -54.0600   70.3876  -61.2489   35.6151  -13.3434    2.9225   -0.2851
%bz=1.0e-006 *
    0.0000    0.0000    0.0051    0.0772    0.2440    0.2122    0.0508    0.0025    0.0000         0
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%双线性变换法设计 ButterWorth 数字滤波器
[n,Wn]=buttord(0.2,0.3,1,25,’s’); %有‘s’
[b,a]=butter(n,Wn,’s’); %有‘s’
freqs(b,a) %用freqs不用freqz
[bz,az]=bilinear(b,a,1);
freqz(bz,az,512,1)
模拟滤波器系数的序列a,b
数字滤波器系数的序列az,bz
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%a= 1.0000    1.2550    0.7875    0.3225    0.0947    0.0206    0.0033    0.0004    0.0000    0.0000
%b=1.0e-005 *
         0         0         0         0         0         0         0         0         0    0.1109
%az= 1.0000   -7.7502   26.7721  -54.0942   70.4461  -61.3114   35.6580  -13.3618    2.9270   -0.2856
%bz=1.0e-006 *
    0.0012    0.0104    0.0417    0.0972    0.1458    0.1458    0.0972    0.0417    0.0104    0.0012
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%