原创 直觉不能解题

数学是严谨的，因而来不得半点马虎——大意了，就要出差错——即使是对大数学家而言也是如此（数学史上是不乏其例的）。

“四色定理”（球面或平面上的图形仅用四种颜色即可使得任何相邻的区域分辨开）是一个貌似简单的定理，直到1978年才有人借助于大型电子计算机的帮助将它证出（花了1200小时机上时间）。上个世纪末，德国的数学家闵可夫斯基在苏黎士大学给研究生们上课时，草率地谈起这个定理说：“它之所以没有证出来，是因为世界上第一流的数学家没有去考虑它。”说完他大笔一挥在黑板上演证起来。他本想一挥而就，轻松地拿下这个问题，但事与愿违，他写了满满几黑板，发现头绪越来越多——最后“挂”了黑板。

下面的几个小问题看上去十分容易，但请你仔细考虑后再回答，不然也会出错的。

还剩几个角

这个问题也许是“老生常谈”了：一个正方形的木板，锯下一个角，还剩几个角？

当然答还剩三个角不对；还剩五个角对吗？其实也不对，不信请您看看下图，然后自己给出答案来。

请你再考虑：一个长方体木块锯去一个“角”后还剩几个“角”？（答案有四种）

平均速度

小华骑车进城买东西，他家离城10里。去时正赶顶风，每小时只能骑10里；回来时他想正好顺风快点骑。那么他每小时行多少里才能使他往返的平均速度达到每小时20里？

乍一看，似乎返程时他的速度达到每小时30里就行！又错了。那到底要骑多快才行？我们还是算算看。

设返程速度为每小时V里，依题意有：

那么V应该等于多少？等于多少都不行，这是没法达到的平均！

还剩几个面

一个正四棱锥和一个正三棱锥的侧面形状全等，当把这两个几何体以侧面为基准粘合在一起后，还露出几个面？

七个，你当然会脱口说道，其实是五个。说起来这还有一段小故事呢！

这道题目是1982年美国“初等学术能力测验”的一个题目，全美有83万中学生参加。题目的标准答案是七个，然而17岁的丹尼尔·路文的答案是五个。过后路文自己动手做了模型，证实了自己的结论——主考机关最后只得宣布路文的答案是对的。道理在哪儿呢？请见下图。

如图，对正三棱锥而言，凡与任意两条不相邻的棱平行的截面均为矩形；对正四棱锥而言，凡与其底面平行的截面均为正方形。现通过棱的中点分别取两个这样的截面。则当两个棱锥重合一个侧面后，这两个截面在重叠面上的两条边也恰好重合，而另两条边（如图中a、b）都在原正四棱锥的底的平行平面内，且夹角为180°，故a、b边所在同侧的两侧面是共面的。

同理可知与其相对的另两个同侧侧面也共面。

这样两棱锥重叠一个侧面后共消失了2＋（4－2）＝4个暴露面，只剩下9－4＝5个暴露面。

错了五十年的会徽

最后我们想讲一个小故事。美国数学会是一个在国际上甚有影响的数学组织，它有19500名会员。1942年美国数学会所办杂志《美国数学月刊》上刊载了美国数学会会徽（见下图），圆圈里面是一个正20面体，对于它的权威性似乎无人怀疑。

五十多年以后，美国华盛顿大学的55岁的布兰高·格林鲍华（南斯拉夫出生的美国人）从民主德国的邮票上发现其正20面体图案有误，在他进而想到美国数学会会徽图案时，他自己惊呆了——那也是一个错误的图案。

注意上图中的正三角形有箭头的那条边，应与图中虚线平行才正确，而会徽上的这两条线却不平行（如今此图案已改正）。