原创 捷径的迷

有位地理老师提问一位学生：“请指出从上海到广州距离最短的路。”学生看了看摆在讲台上的地球仪，从容答道：

“是一条挖通广州与上海的直线隧道。”

老师哭笑不得。的其实，从理论上讲这位学生说得并没有错。那是根据平面几何里的一条公理：“两点间线段最短。”不过，生活是在地球上的人类，习惯于把自身的活动，限制在这个星球的表面考虑。这样，上海与广州之间的最短路程，很自然地被理解为过上海和广州之间的一段大圆的弧。这段大圆的弧约长1200公里。

球面上过两点的大圆的弧，可以用以下的办法直观地显示出来：在地球仪上拉紧过两点的一条细线，这条细线即可看为大圆的弧。

光沿直线前进的性质，这是物理学家早就注意到的。如图，由A点射出的光线，通过1上的点C反射到B点，则由入射角等于反射角推知， C点即线段  A′ B与   1的交点。这里  A′是A关于直线1的对称点。容易证明，对于1上的另一点C′，必有

AC’+C’B>AC+CB

事实上，AC＋ CB＝ A′C＋ CB＝ A′B＜ A′C’′ C′B

 ＝AC′+ C′B

结论是很明显的！这表明光所走的折线ACB，是比A经1到B最短的路线。

不过，严格地讲，光所走的是一条捷径。即走完全程所用的时间最短。右图的情景，想必许多读者都见过：本来看不见的东西，在水中变得看见了！光线产生这种折转的原因，是因为光在空气中和水中速度不相同。造成光沿一条折线走比光沿一条直线走所花的时间更少。

你不妨亲手做一做下面的试验：

在光滑桌面的另一半，铺上一层薄薄的绒布。让一颗铁球由光滑面斜着滚向绒布。这时你会看到一种奇特的现象：铁球在绒布的交界处突然折转了方向，如同光线的折射一般！

出现上述现象的原因：是铁球在光滑桌面和绒布上行进的速度不相同。铁球也像光线一样，走的是一条捷径！

下面是一个有趣的问题：

一只蜘蛛在一块长方体木块的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方体的对角顶点G处，问蜘蛛要沿怎样的路线爬行，才能最快抓到苍蝇？

我们可以把长方体（图a）的上底面及右侧面展开成如同图a′的平面图时，蜘蛛爬行的路必须是线段AMG或ANG中较短的一条。假令AB=a，BC＝b，AE＝c，则由图知

当a＞c时，ANC＞AMG，说明蜘蛛应当沿折线AMG爬行，才能最快抓到苍蝇；反之，则必须沿折线ANG爬行！

很明显，对于可以展成平面的曲面，曲面上的捷径问题，都可以用类似上面展开的方法加以解决。图C的圆锥曲面就是一个例子。

然而，并非所有的曲面都能展开成平面。我们最常见的球面，其任何一小部分，都不可能毫无重叠或破裂而展成平面。这就是无论哪一种地图，总不可避免地要产生变形的原因，没有一点畸变的地图根本不存在！这样，当你翻开一张地图细心观察时，你便会发现一个有趣的现象，图上画的航线几乎都是一条条弧线。这才是真正的球面短程线——大圆弧线。而图面上看起来是直的线，实际上只是保持与经线等角的斜航线。