原创 漫谈选优

选优，在数学中颇具时代气息。选优学的历史，与数学发展史之间有着千丝万缕的关系。

早在二千多年前几何学发达的古希腊，人们就知道用图形的对称性质，去解决诸如“在河岸上取一点C，使它到A、B两村路程之和最短”等一类最简单的选优问题。

极值是最重要的一种变量中的常量。

随着代数学的发展，不等式求极值的方法使用得更加普遍。

一个精彩的例子是：“体积为V的圆柱体，它的高h和底半径r应当采用怎样的比，才能使表面积S最小？”

这就是说，体积一定的圆柱体，当高与底直径相等时，有最小的表面积。这也是为什么今天市场上的有盖牙罐总是设计得高与口径相等的道理。读者还可以用相同的方法证明：无盖的罐子，最节省材料的形状应当是，罐子的高等于口径大小的二分之一。

笛卡儿坐标的建立，使形数结合更加紧密。由牛顿和莱布尼兹创立的微积分学，为求函数的极值提供了一整套完整的算法。17世纪，选优学在应用方面呈现出一派勃勃生机！

客观现实在变化的量中，常常存在某种联系。这些联系在数学上表现为等式约束

F_i=0(I=1，2，……，k)

对于附加了若干约束条件的选优问题，拉格朗日（Lagrange，1736～1813）提出了著名的“不定乘数法”：即引进k个参量λ_i，把在F_i＝0约束下对F的条件选优问题，化为求

的无条件选优问题。

随着生产和科学的发展，以函数为变数的选优问题突出了出来。这些问题中最古老和最有代表性的有三个：短程线问题最速降落问题和等周问题。这些古老而富有趣味的问题，经天才数学家欧拉和泊松等人富有创造性的工作，升华为一门瑰丽的数学分支——变分法。

近代电子计算机的出现和使用，使原来并不引人注目的一次函数选优问题，又重新得以重视和发展。

一次函数选优问题的提法是：未知数x₁满足不等式组

解决这类问题的一般方法是单纯形法。其基本思路可以通过下图加以介

区域Ω的角点（顶点）上取得。

由于实践中提出的类似上述的线性规划问题都带特殊性。因此人们已经总结出许多诸如物资调动、合理装车等切实可行的好方法，使古老的一次函数选优问题，得以重新发放光辉！

自然科学其他分支的研究常常经选优学以提示。例如前面我们讲到的：蜂窝的底是由三个具有70°32′角的菱形拼接而成，它启示我们这样的结构是最经济的。在深水中横放一根半径为a的圆柱，探索水的绕流导致了对儒可夫斯基函数

（Z为复数）的研究，这个函数为各种优良机翼提供原型。

有时用力学上的模拟方法可以比数学方法更容易得到结果。例如应用橡皮筋拉力，可以轻而易举地找出主要矛盾线，从而解决了统筹方法中的重要课题。著名的三村建立小学问题，可以如图在平面上用三点模拟三村，用重物P₁模拟各村的学生数，并用细线通过滑轮连接于Q点，则平衡后Q点的位置就是建立小学的最好地点。可以证明，这时各村学生到校的总里程数最短。

迄今为止我们讲述的都是必然性问题，实际上更多的是我们甚至连变量间的依赖关系都不知道。为了探求它们之间的相互关系，我们常用一n次曲线。

去拟合m组试验数据（x_i,y_i）（i＝1，2，…，m），而反过来把这m组数据看成是对曲线的随机误差。自然，这种拟合要求

取最小值。根据上述要求，求出 n＋1个待定系数a₁，从而得出最优的n次拟合曲线。

因为统计方法是基于大数定律，从而得到的结果只能认为具有很大的，但不是绝对的把握。以下蒙特卡罗（MonteCarlo）方法便是一个极典型的例子。这个方法的要点是把试验区域分成m个等积的小方块，如果我们希望找到一个小方块其中心试验值优于全部m块中的n块，那么只要随机抽取m块中的r块，并在每个方块的中心做试验，而后取其中最好的一个结果就是。

事实上，从m个中随机抽r个，其中有一个优于n个的可能性为

当r增大时，P很接近于1，从而是十拿九稳的事。

最后还要提到另一类有趣的选优问题。这类问题区别于前述种种问题的特点，在于它不单是选取或比较某些量，而是在某些量的极小中去选取极大，或从极大中去选取极小。这是博奕论的课题。其基本思想用形象的语言来表达可以说成是：“往最好可能努力，作最坏估计打算。”我们这里不再进一步讲述它。