原创 对称的启迪

二百多年前德国九岁的小高斯，以出乎老师意料的速度口算出 1＋ 2＋ 3＋ 4＋…＋ 97＋ 98＋ 99＋ 100＝ 5050。他采用的实际上是对称的方法。这种方法渊源古老，少说也有几千年！当人们第一次进行梯形面积计算时，所用的就是这种方法。

公元1796年，当高斯19岁时，他以其特有的关于对称的思考，一举推翻了两千年来人们关于“边数为大于5质数的正多边形，不可能用尺规作出”的猜想。确确实实地找到了正十七边形的作法。

下表列出了边数n不超过100，而能用尺规作图的正多边形种类，总共24个：

图形的对称，表现为数学的以下式子：

I:f⁺(-x)=f⁺(x)

II:f^-(-x)=-f^-(x)

满足Ⅰ式的函数y=f⁺(x)，称为偶函数，它的图象对于OY轴为对称；满足Ⅱ式的函数y=f^-(x)称为奇函数，它的图象对于原点为对称。

事实上，任何一个图形都可以看成是一个轴对称图形和一个心对称图形的叠合！代数语言表述是：任何一个X的函数f（x），都可以表示为一个偶函数f⁺(x)和一个奇函数f^-(x)的和。即

∴f(-x)=f⁺(-x)+f^-(-x)=f⁺(x)-f^-(x)

从而

下图粗实线所代表的函数f(x)是由虚线所代表的奇函数和细实线所代表的偶函数相加而得。

关于对称图形，对称中心或对称轴处于一种十分特殊的地位。这种位置在解题中往往起着关键的作用。

下面是一道精采的智力思考题：

A、B是两根形状和重量都一样的条铁，其中有一根带有磁性。如果不用这两根条铁以外的东西，问怎样才能辨出哪根是磁铁？

两根条铁放成“T”字型。这种对称的放置，实际上已经给出了问题的解答。接下去的判定就留给读者了！

对称的启示，常常产生意想不到的效果。请看下面一例：

某食糖商店天平坏了，商店负责人决定不再零售食糖，不巧此时来了一位顾客，急需一公斤食糖，售货员急人所难，采用了通融的办法，把一公斤糖分成两份来称。第一次天平的右盘放500克砝码，左盘放食糖，取平衡；第二次右盘放食糖，左盘放500克砝码，也取平衡。售货员想，天平已经不准确了，它的左右臂长不相等，这样两次称出的糖一定有一次比500克多些，而另一次则少些，两次加在一起，取多补少，大约该是1000克，即1公斤吧！于是，他向顾客收了一公斤食糖的钱。

话说那位顾客可是个喜欢动脑筋的人，当他看到售货员的动作，心里便明白了三分，思考片刻后他发话了，说是售货员少收了钱，所称食糖不止一公斤！亲爱的读者，你知道这位忠诚的顾客是怎样作出判断的吗？

原来他是根据杠杆原理，由两次称量得出两个对称的关系式：

∵a≠b

∴W₁+W₂>1000

不过，读者如果动脑筋，还能找到更聪明的称糖办法。