原创 波浪曲线

有一个故事说：从前有座山，山上有座庙，庙里有个老和尚和一个小和尚。有一天，老和尚对小和尚说：“从前有座山，山上有座庙，庙里有一个老和尚和一个小和尚，有一天……”无须再写下去，我想读者都知道如何继续这个故事。

在文学家的笔下，对于循环模式的描述，往往是很精采的，但在数学家中，所有出现的事件y，都是时间X的函数

y＝f（x）

而循环模式则表示对于变量X的任何值，存在一个常量T，使得：

f(x+T)=f(x)

这里的T称为周期。上式表明，同样的事件，在经历了一个周期之后又回到了原先的状态，周而复始，如此而已！

拿一张纸，把它卷到一根蜡烛上，然后用刀斜着把它切断，再把卷起的纸展开，那么你将会看到一个波浪型曲线的截口。让我们看一看这是怎样的一条曲线？

如下图，设圆柱体为蜡烛的一段，底半径为R，截口中心为S。过S作垂直于圆柱轴线的截面，与原截口曲线交于两点。取其中一点0为原点，在过O且与圆柱相切的平面内建立直角坐标系XOY，使OY为圆柱的一条母线。显然OX切于圆S。

设想卷在圆柱上且已被切断的纸是慢慢展开的。令P为截口曲线上一点，Q是它在圆S上的射影，又展开角∠OSQ=α。则

式中θ为斜截面与圆S平面的夹角，为一常量。

把上述变量y表示为变量X的函数，即得

原来得到的是振幅为A，频率为ω的正弦曲线！容易明白，当纸张从O开始，展开一圈又回到O时，完成了一个循环，这一循环的周期T，恰等于圆S的周长，即

后一个式子对于求一般正弦函数的周期是很有用的。

自然界里正弦曲线是很多的。往水池里扔一块石头，便会看到圆形的水波逐渐向四周扩展；拿一根长绳，抓住其中一头上下振动，你会看到一个个波浪传向前方，即使振动的那一头已经停止动作，已经形成的波形仍会继续传向远处！

在数学家眼里，上面的一系列现象称为波的传送。数学家们运用自己的智慧，巧妙地把这种运动用函数表示了出来！

下图是一个弦振动的例。弦起初静止，t=0时，给它一个初位移。令初始位移函数为 f（x），图中

而表示图中波传播的函数式可以写为

式中V是波的传播速度。

值得注意的是，大多数的波未必就是正弦波。例如声波

就常常具有令人难以置信的复杂波形。

公元 1822年，法国数学家傅立叶（Fourier，1763～1830）证明了任何曲线都可以由正弦曲线叠加而成，他甚至找到了构成叠加的方法。傅立叶的出色工作，使一门近代的数学分支，以他的光辉名字命名！