原创 奇妙的钟型曲线

一位教师在统计自己所教的两个班级学生的成绩时，得到了以下数据表：

这位教师根据这张表画出了以下学生成绩分布直方图，这时他惊奇地发现：所得直方图很接近于一种两头低中间高的钟型曲线。钟型曲线，在许多地方都出现过！

公元1261年，我国宋朝数学家杨辉，在《详解九章算法》一书中，记载了一幅图形（下页右图），这个图形被后人称为杨辉三角形或帕斯卡三角形。

杨辉三角形的构造法则如下：三角形的两条斜边都由数字1组成，其余的数都等于它肩上的两数相加。下表是根据上述法则得到的，容易看出，每排数目的总和恰好都是一个2的方幂。

如果我们把这些数按列的分布画出坐标，我们可以连成一条相当规范的钟型曲线！

读者一定还记得1984年美国洛杉矶奥运会的那个振奋人心的时刻，中国选手许海峰，在射击比赛中为我国取得了历史上第一面奥运金牌。

可是读者不知是否想过，神枪手也不可能百发百中，只是他们命中红心机会较多，而偏离红心的机会较少罢了！左图画出了神枪手（A）、普通射手（B）和一般人（C）射击命中率的钟型曲→X 线，它们之间的区别几乎一目了然！

要揭示神秘钟型曲线的奥秘，我们还得借助于射击的例子。

当我们瞄准靶心（O）开枪射击时，离靶心越远的地方自然着弹可能性越少。今以靶心为原点，如下图建立直角坐标系 XOY，并令 y=ф（X）为沿 X轴方向命中率的钟型曲线。由对称关系，显然可设

ф（x）=f（x²）

如图，易知：在n次射击中，区间△x内的着弹点应

正比于射击次数及命中区间的长度，即着弹数

△n=nf（x²）△x

从而，在区间△X内命中的频率

同理               △p_y=f(y²) △y

对于整个靶面来说，小阴影区△A的着弹频率△p，显然可以写成

△p=△p_x·△p_y

   =f(x²)f(y²) △A

今在平面上，以O为原点另立UOV坐标系，使U轴恰过A点。由于着弹点的频率是与坐标轴选择没有关系的，从而又有：

△P=△P_u·△P_v

   =f(u²)f(v²) △A

注意到在XOY中的A。