原创 超声波电机振动模态有限元分析

超声波电机振动模态有限元分析 <?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

    摘  要：振动模态分析是超声波电机优化设计的重要步骤。该文描述了超声波电机振动模态分析数学模型。以直径为100 mm的环形行波型超声波电机为例，给出了电机振动模态ANSYS有限元分析结果，特别阐述了最优振动模态的选择。并对制作的电机进行了实验验证，结果表明：分析结果与实测结果一致。
    关键词：超声波电机；模态分析；有限元

1 引言
    超声波电机是利用压电陶瓷的逆压电效应，并激发定子弹性体的超声振动而工作的，因此，压电陶瓷激发的振动模态必须与定子弹性体固有振动模态相匹配。另一方面，不同型式的超声波电机其工作时的振动模态亦不同，如：环形行波超声波电机一般采用B0n振动模态；圆板形超声波电机采用B1n模态；而纵－扭复合模态超声波电机是合成了纵振动模态和扭转振动模态而形成其工作模态的[1]。通过超声波电机模态分析和计算可获取系统模态参数，进而了解其动态特性，被称为计算模态分析，其突出特点是在设计阶段便可预知系统动态特性。因而振动模态的分析计算对超声波电机的优化设计来说是十分重要的。
    Nicola Lamberti[2]等应用ANSYS得出了薄圆板定子的一阶反对称振动模态；J. W. Krome and J. Wallaschek[3]利用有限元方法给出了超声波电机的振动模态（局部图形）和频率；Su-Hyun Jeong[4]等用有限元法分析了环形压电马达定子的振动，并给出了振动模态；Shuxiang Dong[5]等分析和计算了压电陶瓷和金属复合薄板的振动模态和频率；Burhanettin Koc[6]等用ATILA有限元分析软件分析了有径向模态和第二弯曲模态激发旋转运动的内嵌式压电马达定子的共振模态。
    本文描述了超声波电机振动模态分析数学模型。以直径为100 mm的行波型超声波电机为例，给出了电机振动模态ANSYS有限元分析结果，特别阐述了最优模态的选择。并利用HIOKI3522阻抗－频率特性分析仪对制作电机的定子进行了共振频率测量，对制作的样机进行了实验验证，结果表明：分析结果与实测结果一致。
2 超声波电机振动模态有限元分析数学模型
    振动模态分析，就是利用系统固有模态的正交性，以系统的各阶模态向量所组成的模态矩阵作为变换矩阵，对选取的物理坐标进行线性变换，使得振动系统以物理坐标和物理参数所描述的、互相耦合的运动方程组能够变为一组彼此独立的模态方程（每个独立方程只含一个独立的模态坐标）。这个用模态坐标和模态参数所描述的各个独立方程，称为模态方程。由于坐标变换是线性变换，因而系统在原有物理坐标系中，对于任意激励的响应，便可视为系统各阶模态的线性组合，故模态分析法，又称为模态叠加法。而各阶模态在叠加中所占的比重或加权系数则取决于各阶模态的响应。
    依据Hamilton原理和应力—应变、应变—位移及电势—电场之间的关系，可以导出超声波电机定子采用八节点六面体耦合单元进行离散后一个单元的运动方程为[7]：
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其中（·）表示对时间的求导，下标e表示单元，[]和{}分别表示矩阵和列向量，上标T表示转置；[K]_e为刚度矩阵，[R]_e为阻尼矩阵，[M]_e为质量矩阵，{u}为节点的位移矢量，{F}_e为节点力矢量，{Φ}_e和{Q}_e分别为节点电势矢量和电荷矢量。{Θ}_e为机电耦合矩阵，{C}_e为电容矩阵。
    将单元矩阵方程组集，可得到总的系统矩阵和定子振动的运动控制方程为：

    式(3)可通过使用时间积分法（如Runge-Kutta，Newmark- 等方法）求解，从而获得任意激励下定子振动系统的反应，求解过程对应于有限元分析中的瞬态响应分析。
    采用傅立叶级数将u、Φ分解为基波及各次谐波的合成值，则定子的运动控制方程可表示为：

式中v为谐波次数，当v=1时为基波。
    在给定的电荷和力的条件下，可以获得频域范围内的位移和电势的响应，此时这些矢量表示为复数振幅，此求解过程可称作谐波响应分析。
    通过对超声波电机定子振动模态的有限元分析可以获得定子振动的模态和谐振频率。在式(3)中，忽略阻尼，时间导数(·)用jω代替（其中， ω为角频率），则定子的自由振动模态分析对应于特征值问题。通常有两种情况，一种对应于压电体电极短路的边界情况，在定子振动的谐振状态下，有

3 振动模态有限元分析和计算
3.1 概述
    由于超声波电机定子是带齿的、由复合材料构成的圆环结构，进行理论分析计算比较困难，往往需要进行一些简化，从而导致计算结果的刚度偏低，使理论分析模型难以模拟实际的情况，因而很难获得高的精度。而利用有限元分析方法进行建模，可模拟实际超声波电机定、转子的振动和接触情况，能够获得定量化的分析结果。而且对分析定子振动特性及接触情况非常有效，便于结构优化设计，因此在超声波电机设计中被广泛采用。
3.2 振动模态ANSYS有限元分析
    这里以笔者研制成功的直径为100 mm的环形行波超声波电机定子的振动模态分析为例，用ANSYS5.7有限元软件给出了超声波电机振动模态分析结果。
    为使建立的模型能真实反映实际电机，剖分中采用八节点六面体单元。边界条件为：定子内圈弹性支撑，外圈自由。分析中考虑了粘接层的影响，这是一般有限元分析中没有做到的。定子材料主要参数见表1，定子有限元分析模型如图1所示。

3.3 模态计算结果及分析
    利用ANSYS5.7有限元软件，按上述步骤，经计算得到直径为100 mm的环形行波型超声波电机在频率为20 kHz－50 kHz 范围的各阶振动模态及对应的固有频率如表2所示。

    观察各阶振型图中定子的振动形态，可确定其主响应振动模态。表2 结果表明：该电机振动模态中除了Bon模态外，还有B1n模态和作径向振动的（m, n）模态，以及纵向和径向振动都比较明显的复合振动。模态很复杂，使最优模态提取变得困难，也给电机结构优化、稳定运行带来不利因数。

    而结构尺寸较小时，其振动模态就简单。采用上述方法对直径为30 mm的环形行波超声波电机进行模态计算得到：在20 kHz-60 kHz范围内仅有B04、B05、B06三个无节圆振动模态（B05模态见图2），模态很纯，且两个简并模态的振动频率几乎一致（见表3）。因而结构优化简单，最优模态提取方便，且容易实现电机稳定运行。

    由此可知，由于大尺寸结构振动模态的复杂性，采用数值计算的方法来计算大直径环形行波超声波电机振动模态是困难的，而有限元法能将其所有振动模态直观地表达出来，便于选择最优模态。
3.4 振动模态选择
    对于单一压电环、两相激励环形行波超声波电机来说，因为其环的宽度较电机直径小得多，因而通常选择无节圆的Bon模态。故由表2 模态计算结果可知：可用于直径为100 mm的环形行波超声波电机的振型为：（6、8）、（12、13）、（20、21）、（27、28）、（32、33）、（36、37）阶振型，分别对应于B09、B010、B011、B012、B013、B014振动模态。其中，6和8、12和13、20和21、27和28、32和33、36和37是频率稍有偏差、相位相差90o的同一振型，这是对称结构具有的同一振动频率对应的两个简并模态，频率的差异来源于剖分的不完全对称。其中B011、B014模态的振型如图3、图4所示。

    B09振动模态由于其共振频率接近20 kHz，处于临界超声振动状态，不能保证电机超声运行，而且6 和8阶振型间还有一复合振动的7阶振型，故对于直径为100 mm行波超声波电机来说不宜采用。B010振动模态由于其振动频率与相邻的14阶B15振型的振动频率接近，因而亦不宜采用，否则不利于电机稳定运行。B012、B013振动模态存在同样的问题。
    振动阶数偏高对电机也不利。根据文献[8]，超声波电机定子振幅为：

式中 分别为定子金属体和压电陶瓷的品质因子，C₁₁、 分别为定子金属体和压电陶瓷的刚度常数，d₃₁为压电常数，r为定子环平均半径，n为定子环振动模态阶数。
    根据式(7)，随着振动模态阶数的增加，振动频率提高，使得定子机械损耗及压电陶瓷内部损耗增加， 减小，定子振幅降低。要保持定子振幅恒定，必须大大增加激励电场强度，反过来增加了压电陶瓷的损耗和循环应力，使疲劳寿命降低。因而，不希望振动模态阶数过高，即B015及更高的振动模态也不适合。据此，可选择B011、B014振动模态作为该电机运行时的激振模态。但其中B011模态的振动频率与相邻振型的频率之差较B014多些，而且，根据环形行波超声波电机应工作于定子第2n阶固有频率附近的原则[9]，故选择B011更合适。
4 结果验证
    按B011振动模态设计压电陶瓷环。根据上述优化模型，设计并制作了直径为100 mm的环形行波超声波电机。图5 为利用HIOKI3522阻抗－频率特性分析仪对上述电机定子进行的无负载共振频率测试结果。由图可见，定子弹性体在20～60 kHz频率范围内有3个共振模态十分明显，对应的共振频率分别为：25.2 kHz、29.4 kHz、33.5 kHz，分别对应于B010、B011、B012（表2中的12、20、27阶）振动模态，而且B011为最优模态。这说明激励的模态与设计的模态一致。与上述ANSYS有限元分析结果比较，压电陶瓷环激励的模态与定子的固有模态一致，而对应的3个共振频率的相对误差分别为：5.9％、7.2％、8.3％，满足工程设计要求（误差是由于物理模型、数学模型和有限元计算时的输入参数与实际电机参数差异引起的）。由此证明，ANSYS有限元分析软件对超声波电机振动模态分析是有效而可行的。

    图6为制作的电机的实测输出特性。可见该电机最大堵转转矩达2.2 Nm，充分显示了超声波电机的低速大转矩特性。而且其转速随着负载转矩的增大而平稳地降低，运行性能稳定，电机的优化设计是成功的。而其对应的运行频率为30.76 kHz，与上述模态分析结果很接近，进一步验证了ANASYS有限元分析结果的正确性。

5 结论
    大尺寸超声波电机的振动模态是由多种模态组成的复杂模态，采用数值计算的方法来计算是困难的，而有限元法能将其所有振动模态直观地表达出来，便于选择最优模态。本文应用大型有限元软件－ANSYS对研制的大直径环形行波超声波电机进行了模态分析与计算，计算结果与实测结果一致，验证了该软件的有效性。

参考文献

[1] 上羽贞行，富川义郎（S. Ueha, Y. Tomikawa）. 超声波马达理论与应用(Ultrasonic motor：theory and applications)[M]. 上海：上海科学出版社(Shanghai：Shanghai Science Press)，1998.
[2] Nicola Lamberti et al. A piezoelectric motor using flexural vibration of a thin piezoelectric membrane[J]. IEEE Transcation on Utrasonics, Erroelectrics，and Frequency Control，1998，45(1)：23-29.
[3] Krome J. W. ，Wallaschek J. Novel disk type ultrasonic traveling wave motor for high torque[N]. IEEE Ultrasonics Symposium，1997，385-390.
[4] Jeong Su-Hyun et al. Vibration analysis of the stator in ultrasonic motor by FEM[C]. IEEE Proceedings of the 5th International Conference on Properties and Applications of Dielectric Materials，1997，1091-1094.
[5] Dong Shuxiang et al. Study on piezoelectric ceramic/metal composite thin plate of driving stator for traveling-wave motor[N]. IEEE，1999，739-742.
[6] Burhanettin Koc et al. Piezoelectric micromotor using a metal-ceramic composite structure[N]. IEEE Transaction on Ultrasonics, Ferroelectrics，and Frequency Control, 2000，47(4)：836-843.
[7] Reinhard L. Simulation of piezoelectric devices by two- and three-dimensional finite elements[J]. IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics and Frequency Control，1990，37(2)：233-247
[8] 金龙(Jin Long). 旋转型压电行波超声马达的研究( Study on rotary-type piezoelectric traveling wave ultrasonic motor)[D]. 南京：南京航空航天大学(Nanjing：Nanjing University of Aeronautics & Astronautics). 1997.
[9] 陈永校，郭吉丰(Chen Yongxiao,Guo Jifeng). 超声波电动机[M]. 北京：机械工业出版社(Beijing：Mechanical Industry Press)，1993.