原创 由小波变换想到的

首先讲讲笛卡尔坐标系
    三维笛卡尔坐标系就是我们熟知的X，Y，Z坐标系。这个坐标系下向量的分解是该向量向三个坐标系的投影长度乘以单位矢量。
    深入理解的话三个分量的组合可以带来更多的物理意义。例如，任意两个分量的组合可以看成向量向一个平面的投影。该组合量的意义是向量在投影平面上的近似（approximate），剩下的单独的分量是向量投影后的细节 （detail）。这个坐标系的意义其实是一组正交基下的矢量的分解 这组基就是坐标系的三个方向矢量

    那么对于矢量我们会想将其投影到别的坐标系中 分析矢量的特征
这就需要寻找不同的正交基，为了寻找不同的基我们需要采用正交方法。例如，施密特正交化方法。这个正交方法分量的确定公式是具有物理意义的，不需要死记硬背，每个正交基的求出都是针对上一组基分量的投影计算，也就是approximate+detail。

    将矢量的分析方法拓展到信号处理中，就可以迅速的理解傅里叶变换。傅里叶变换是基于sin和cos的正交基的信号分解。通过将信号投影到这个空间来分析信号的特征，经过了投影得到的信号特征就是信号的频率域特征。傅里叶变换的公式，也可以从approximate+detail的物理投影特征上加以记忆。

    傅里叶变换可以处理信号的频域特性，但是经过分析我们可以发现有些信号用傅里叶变换非常直观，而有些信号则不适应与傅里叶变换，这就要引入两个概念：平稳信号和非平稳信号。

    简单的区别这平稳信号和非平稳信号的特征就是频率
    平稳信号：频率成分不随时间变化而变化，任一时刻每个频率分量 都存在
    非平稳信号：（Non-Stationary Signal） 特点是不同时段的频率成分是变化的。例如鸟叫

    傅里叶变换比较适应与处理平稳信号，因为频率成分不随时间变化。而傅里叶变化正好无法给出频率成分的时域特征，例如3m->30m->300m变化的信号傅里叶频谱和300->30m->3m的信号傅里叶频谱区别是很小的。

    为了解决这个问题，有人想到了将时域信号分段处理不就好了，如果我们用窗函数把信号分成不同的小段在进行傅里叶变化，不就得到了不同时段的频率信息了么？于是STFT被发明出来了，也就是短时傅里叶变换，也叫窗口傅里叶变换。

    短时傅里叶变换可以解决一部分问题，但是对于不同频率叠加的信号分析时，如果选取窗口的大小就成了一个问题，窗口太小无法分析低频分量，而窗口柜台大的话则无法分析高频分量，也就是出现了分辨率的问题。

    最后，小波变换的概念被提出了，让窗口随时间变换，就可以同得到信号的频率信息和时域信息。选取不同的小波函数（母小波和子小波），可以得到不同的分析结果，其实不同的小波函数就是选取的不同的正交基。