原创 欧拉公式

2009-1-15 14:20 3519 6 6 分类: 工程师职场

欧拉公式是根据其提出者莱昂哈德·欧拉??????Leonhard Euler)而命名的公式。

[编辑]形式

(1) 在複分析领域的欧拉公式为:

对于任意实数x\,,存在:
e^{ix} = \cos x + i\;\sin x
x=\pi\,时,欧拉公式的特殊形式为?e^{i \pi} + 1 = 0 \,?。 (参见欧拉恒等式

(2) 在几何学代数拓扑学方面,欧拉公式的形式为:

对于一个拥有F\,?个面、V \,?个顶角和E\,?条棱(边)的单联通多面体,必存在
F+V-E=2 \,?(参见欧拉特征数

[编辑]证明

複分析领域:

e^{ix} = \cos x + i\;\sin x,?x \in \mathbb{R}\,
将函数?e^x \,,?cos(x)\,?和?sin(x)\,?写成泰勒级数形式:
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots
\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots
x=iz\,代入可得:
点击看大图
= 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots
点击看大图
= \cos (z) + i\sin (z) \,

定義函數

f(x)=\frac{\cos x+i\sin x}{e^{ix}}

由於

e^{ix}\cdot e^{-ix}=e^0=1

可知e^{ix}\,不可能為0,因此以上定義成立。

f(x)\,之微分為:

\begin{align}<br/> f'(x) &{}= \frac{(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{ix} - (\cos x+i\sin x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\<br/>       &{}= \frac{-\sin x\cdot e^{ixi^2\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\<br/>       &{}= \frac{-\sin x\cdot e^{ix}+\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^2} \\<br/>       &{}= 0<br/>\end{align}}-

因此f(x)\,必須為一常數函數

所以:

\frac{\cos x + i \sin x}{e^{ix}}=f(x)=f(0)=\frac{\cos 0 + i \sin 0}{e^0}=1

重新整理,即可得到:

\displaystyle\cos x + i \sin x=e^{ix}

[编辑]在複分析的應用

這公式可以說明當x為實數時,函數?eix?可在?複數平面描述一單位圓?。且x為此平面上一條連至原點的線與正實數軸的交角(順時鍾的)。 先前一個在複數平面的複點只能用卡式坐標系描述,尤拉公式在此提供複點至極坐標的變換

任何複數?z?=?x?+?iy?皆可記為

z = x + iy = |z| (\cos \phi + i\sin \phi ) = |z| e^{i \phi} \,
\bar{z} = x - iy = |z| (\cos \phi - i\sin \phi ) = |z| e^{-i \phi} \,

在此

x = \mathrm{Re}\{z\} \,?為實部
y = \mathrm{Im}\{z\} \,?為虛部
|z| = \sqrt{x^2+y^2}?為z?的
\phi = \,?atan2(y,?x)

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