原创 画圆算法

 本项目在嵌入式软件开发过程中，涉及到在嵌入式TFT LCD上实现画圆，下面先简要介绍常用的画圆算法（Bresenham算法），然后再具体阐述笔者对该算法的改进。<?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

    一个圆，如果画出了圆上的某一点，那么可以利用对称性计算余下的七段圆弧：Plot(x，y)，Plot(y，x)，Plot(y，-x)，Plot(x，-y)，Plot(-x，-y)，Plot(-y，-x)，Plot(-y，x)，Plot(-x，y)。

    1、Bresenham 画圆算法。Bresenham算法的主要思想是：以坐标原点（0，0）为圆心的圆可以通过0度到45°的弧计算得到，即x从0增加到半径，然后利用对称性计算余下的七段圆弧。当x从0增加到时，y从R递减到。

    设圆的半径为R，则圆的方程为：

    f(x，y)＝(x+1)2+y2-R2＝0                                   (1)

    假设当前列（x=xi列）中最接近圆弧的像素已经取为P(xi，yi)，根据第二卦限1/8圆的走向，下一列（x=xi+1列）中最接近圆弧的像素只能在P的正右方点H(xi+1，yi)或右下方点L(xi+1，yi-1)中选择，如图1所示。Bresenham画圆算法采用点T(x，y)到圆心的距离平方与半径平方之差D(T)作为选择标准，即

    D(T)=(x+1)2+y2-R2                                         (2)

    通过比较H、L两点各自对实圆弧上点的距离大小，即根据误差大小来选取，具有最小误差的点为绘制点。根据公式(2)得：

    对H(xi+1，yi)点有：D(H)=(xi+1)2+yi2-R2；

    对L(xi+1，yi-1)点有：D(L)=(xi+1)2+(yi-1)2-R2；

    根据Bresenham画圆算法，则选择的标准是：

    如果|D(H)|<|D(L)|，那么下一点选取H(xi+1，yi)；

    如果|D(H)|>|D(L)|，那么下一点选取L(xi+1，yi-1)；

    如果|D(H)|=|D(L)|，那么下一点可以取L(xi+1，yi-1)，也可以选取H(xi+1，yi)，我们约定选取H(xi+1，yi)。

    图1  Bresenham画圆算法点的选取

    综合上述情况，得：

    当|D(H)|>|D(L)|时，选取L点(xi+1，yi-1)为绘制点坐标；

    当|D(H)|<|D(L)|时，选取H点(xi+1，yi)为绘制点坐标。

    然后将选取的点坐标作为当前坐标，重复上述过程直至xi=或者yi=为止，(xi，yi)的初始值为（0，R）。

    以上便是Bresenham算法的主要思想，但是上述算法是在一个假设下：以坐标原点（0，0）为圆心。该假设实际上只是为了方便算法的研究。但在实际嵌入式LCD显示设备中，往往圆心坐标不是（0，0）点，而是以左上角为（0，0）点，这样就使得在实际运用中，需要对这个算法做很大的改进。

    另外，如果完全按照Bresenham画圆算法，那么就会涉及到浮点运算，这使得嵌入式编程十分烦琐，因为本系统中所有数据都是整型的，因此在这方面也要作一定的改进。下面根据本系统中嵌入式硬件特点和数据结构得特点，对这个算法进行改进。

    2、改进的Bresenham画圆算法。先假设起始点为（R，0），令Pi=(xi，yi)为当前的一点，那么我们就需要在Ti=(xi，yi+1)和Si=(xi-1，yi+1)中选取一点，如图2所示。

    图2 嵌入式LCD画圆时点的选取

    设(xi-1/2+e，yi+1)为S和T之间圆上的点，e是S、T中点到圆上点的误差，带入圆的方程(1)得：

    f(xi-1/2+e，yi+1)=(xi-1/2+e)2+(yi+1)2-R2=f(xi-1/2，yi+1)+2(xi-1/2)e+e2=0   (3)

    在式(3)中，令

    di="f"(xi-1/2，yi+1)=-2(xi-1/2)e-e2                                    (4)

    如果e<0，那么di>0，因此选择S=(xi-1，yi+1)，根据(3)与(4)得：

    di+1=f(xi-1-1/2，yi+1+1)=di-2(xi-1)+2(yi+1)+1=di+2(yi+1-xi+1)+1         (5)

    如果e30，那么di￡0，因此选择T=(xi，yi+1)，根据(3)与(4)得：

    di+1=f(xi-1/2，yi+1+1)=di+2yi+1+1                                  (6)

    起始点是（R，0）的时候，根据(4)得di的初始值d0就是：

    d0=f(R-1/2，0+1)=(R-1/2)2+1-R2=5/4-R=1-R（由于编程中所用数据类型均为整型，故取1-R）。

    综合上述情况，得：

    当选取S=(xi-1，yi+1)时，那么di+1＝di+2(yi+1-xi+1)+1；

    当选取T=(xi，yi+1)时，那么di+1=di+2yi+1+1；

    然后将选取的点坐标作为当前坐标，重复上述过程直至x=y，而不是xi=或者yi=，这样就可以不用作浮点数计算了。

    本项目中的LCD像素为640×480点阵，并且数据是八位的，当横坐标和纵坐标超过255时，那么数据就不能一次传送成功，因此需要通过字节操作来设定高字节，然后再传送低字节。因此，每次画圆上的点时要传送的参数至少是六个，圆心坐标是四个（因为要考虑圆心坐标可能大于255，因此要对其圆心坐标设置高、低字节），另外两个是圆上的点相对于圆心的坐标，但是最后要画一个点，需要四个参数，即改进的画圆算法为六个参数输入，四个参数输出。

    用C语言在嵌入式LCD上实现改进的Bresenham画圆算法的部分代码如下：

    void MidBresenhamcircle(int R)  /*改进的Bresenham算法画圆程序*/

    {

    int x,y,d;

    x="0";y=R;d=1-R;        /* 计算初始值 */

    while(x<y)

    { circlePoint(x,y);   /*绘制点(x，y)及其在八分圆中的另外7个对称点*/

     if(d<0)  d+=2*x+3;  

     /*根据误差项d的判断，决定非最大位移方向上是走还是不走*/

       else

            { d+=2*(x-y)+5;

              y--;

             }

              x++;

     delay(900000);

     }  /* while */