原创 【原创】DFT的相量理解

但凡对数字信号处理稍有涉猎的朋友都知道DFT，也能很容易地写出其数学表达式：<?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

                     <?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" />

但数学表达式毕竟比较抽象，不够直观。那么除了数学表达式之外，是否还有什么其它的方法，可以更直观地理解DFT？相量即是其中的一种方法。

       相量是表示正弦信号最直观的方法之一。一个单频的正弦信号，对应了一个相量。从上面DFT的数学表达式可以看出，X(k)可以看做是N个相量相加的结果。就相量相加而言，在什么情况下其值最大呢？显然是各个相量具有相同相位的情况下。因此，若x(n)与exp(-j*2*pi/N*k*n)共轭对称时，X(k)必将有一个峰值；如果不共轭对称，而是随着x(n)*exp(-j*2*pi/N*k*n)这个相量相角的增大，X(k)对应的值将相应减小。当x(0)*exp(-j*2*pi/N*k*0)与x(N-1)*exp(-j*2*pi/N*k*(N-1))的相位相差2*pi时，X(k)为0。

       由此就可以很好地理解DFT的峰值位置和幅度的问题。比如一个单频复信号exp(j*2*pi/N*10*n)，其峰值必定位于k=10处，并且其幅度值必为N。因为从相量叠加的角度讲，DFT就是N个相量相加的结果，每个相量的幅度均为1，DFT的结果则为N。

       在实际应用中，经常要估计DFT之后的信噪比，也即是说估计DFT的增益。利用相量的观点，也很容易得到结果。比如，一个单频信号，已经被噪声污染，如果进行1024点的DFT，信号的信噪比能增加多少dB?答案是约为30dB。因为信号是同相叠加，其幅度增加N倍；噪声是非同相叠加，其幅度增加N的开根号倍。因此DFT增益为

             20*Log₁₀ [N/(N)^0.5]=10* Log₁₀1024=30dB

       实际上，在信号处理中，最重要的基础之一是要求系统的线性性。而在线性性的要求中，重要的一条就是叠加性。因此，对信号的线性处理，如DFT、滤波等，都可以从相量叠加这个角度去理解。在工程实践中，这种理解非常直观，往往会有意想不到的收获。