原创 数学笔记

2010-10-12 22:52 1902 4 4 分类: 工程师职场

等差数列求和公式


  Sn=n(a1+an)/2 或Sn=a1*n+n(n-1)d/2 注:an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)*d(m小于n)
  转换过程:Sn=n(a1+an)/2=n{a1+[a1+(n-1)d]}/2=n[2a1+(n-1)d]/2=[2na1+n(n-1)d]/2
  对于任一N均成立吧(一定),那么Sn-Sn-1=[n(a1+an)-(n-1)(a1+an-1)]/2=[a1+n*an-(n-1)*an-1]/2= an
  化简得(n-1)an-1-(n-2)an=a1,这对于任一N均成立
  当n取n-1时式子变为,(n-3)an-1-(n-2)an-2=a1=(n-2)an-(n-1)an-1
  得
  2(n-2)an-1=(n-2)*(an+an-2)
  当n大于2时得2an-1=an+an-2 显然证得它是等差数列
  和=(首项+末项)×项数÷2
  项数=(末项-首项)÷公差+1
  首项=2和÷项数-末项
  末项=2和÷项数-首项
  末项=首项+(项数-1)×公差
  性质:
  若 m、n、p、q∈N
  ①若m+n=p+q,则am+an=ap+aq
  ②若m+n=2q,则am+an=2aq
  注意:上述公式中an表示等差数列的第n项。
  求和公式
  Sn=(a1+an)n/2
  Sn=a1n+n(n-1)d/2 d=公差
  Sn=An2+Bn A=d/2,B=1-(d/2)

 


等比数列求和公式


  (1) 等比数列:a (n+1)/an=q (n∈N)。
  (2) 通项公式:an=a1×q^(n-1);
  推广式:an=am×q^(n-m);
  (3) 求和公式:Sn=n×a1 (q=1)
  Sn=a1(1-q^n)/(1-q) =(a1-an×q)/(1-q) (q≠1)
  (q为公比,n为项数)
  (4)性质:
  ①若 m、n、p、q∈N,且m+n=p+q,则am×an=ap×aq;
  ②在等比数列中,依次每 k项之和仍成等比数列.
  ③若m、n、q∈N,且m+n=2q,则am×an=aq^2
  (5)"G是a、b的等比中项""G^2=ab(G ≠ 0)".
  (6)在等比数列中,首项a1与公比q都不为零.
  注意:上述公式中an表示等比数列的第n项。
  等比数列求和公式推导:
  Sn=a1+a2+a3+...+an(公比为q)
  q*Sn=a1*q+a2*q+a3*q+...+an*q
  =a2+a3+a4+...+a(n+1)
  Sn-q*Sn=a1-a(n+1)
  (1-q)Sn=a1-a1*q^n
  Sn=(a1-a1*q^n)/(1-q)
  Sn=a1-a(n-1)*q/(1-q)
  Sn=a1(1-q^n)/(1-q)
  Sn=k*(1-q^n)~y=k*(1-a^x)
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