原创频率域采样的个人理解

 2019-5-17 16:23  5592 16 4 分类: 通信文集: 信号处理

频率域采样有很多应用场合，因为现实中有很多仪器是在频率域进行测量的，比如射电望远镜就是测量视场内空间频率的仪器，测量的结果进行反向傅立叶变换而得到空间域的信息。

因此这篇博文我想把一些对于频率域采样的见解记录下来，以便交流。

为了简便，我从一维信号切入，并进行说明。设一个一维信号 $x.left ( t .right )$ ，它是非周期信号，且满足傅立叶变换的条件，因此它的频率域表示 $X.left ( f .right )=.int_{-.infty}^.infty x.left(t .right ) e^{-j 2 .pi f t} dt$ 。对于这个信号而言，它在时域上是一个非周期、连续信号，在频域上也是一个非周期、连续信号。为了方便说明假设 $x.left ( t .right )$ 的时域波形图以及频域表示如下图所示，

对频域进行采样，相当于上述过程变成了傅立叶级数展开。因为采样后的频域信号，是离散的信号，与其相对应的时域信号应该是周期的信号。下边公式描述了傅立叶级数展开的过程，其中 $k$ 是整数，且 $k.epsilon (-.infty,.infty)$ 。

$a_k = .frac{1}{T} .int_{0}^{T} .widetilde{x}(t) e^{-j 2 .pi .frac{k}{T} t} dt$

$.widetilde{x}(t) = .sum_{k=-.infty}^.infty a_k e^{j 2 .pi .frac{k}{T} t}$

设频域以 $.Delta f$ 的间隔采样，那么相当于采样后的频域信号所对应的时域信号是一个周期为 $T=.frac{1}{.Delta f}$ 是连续、周期信号，我设它为 $.widetilde{x}(t) = .widetilde{x}(t+T)$ 。在一个周期内 $.widetilde{x}(t)=x(t)$ 。在傅立叶级数展开中， $.frac{1}{T}$ 是基波频率，周期信号 $.widetilde{x}(t)$ 展开为离散的、以基波频率 $.frac{1}{T}$ 为步进的离散频域信号。

随着频域采样间隔 $.Delta f$ 变小， $T$ 变大，当 $.Delta f.rightarrow 0$ 时， $T.rightarrow .infty$ 变大，也就是相当于傅立叶变换的过程，即连续、非周期时域信号 $x.left ( t .right )$ 转换为连续、非周期频域信号 $X(f)$ 。相反地，当 $.Delta f$ 变大， $T$ 变小，这个过程如下图所展示的那样，

转换回时域后的信号为周期、连续信号 $.widetilde{x}(t)=.widetilde{x}(t+T)$ ，在一个周期内 $.widetilde{x}(t)=x(t)$ ，随着 $.Delta f$ 变大的过程， $T$ 变越来越小。当 $.Delta f$ 大到一定程度后，会发生混叠。直观的说，混叠就是上图中两个相邻周期内的时域信号重叠在一起了，如下所示，

因此当进行频域采样时，采样间隔 $.Delta f$ 的大小是要注意的，不能过于大，这样会引起时域上的混叠。对于混叠，如果离散频域信号（离散的频谱）重建的时域周期、连续信号 $.widetilde{x}(t)$ 在一个周期内不等于原始时域信号 $x(t)$ ，那么这样的频域采样就有一些问题了，相当于丢失一部分信息。当然，如果除去混叠以外的信息仍旧满足需求，那么这部分混叠就是可以容忍的，因为你仍然可以从混叠的信号中拿回需要的信息。

一般来说，如果不希望在重建的时域信号中引入混叠，那么 $.Delta f .leq .frac{1}{T_{min}}$ ，其中 $T_{min}$ 是时域信号的最小周期（比如上图中时域方波信号的脉冲宽度）。

接下来我们从对一维信号的分析进入到对二维信号的分析。

典型的连续、非周期二维信号就是一幅模拟灰度图（如相机底片），它的空间频率域表示也是一个连续、非周期的信号。利用二维信号的空间频率域频谱采样后的样本进行重建，空间域的信号应为连续、周期的空间域二维信号。因此对于空间频率域的两个正交基 $(u,v)$ 方向上的采样间隔 $.Delta u$ 、 $.Delta v$ 来说，重建后的空间域信号应该是一个连续、周期的二维信号，在 $x$ 方向上的周期为 $T_1 = .frac{1}{.Delta u}$ ，在 $y$ 方向上的周期为 $T_2 = .frac{1}{.Delta v}$ ，他们的大小会影响重建后的空间域信号是否混叠。下图为一个重建过程，与一维信号的重建过程相似，但是因为纸上画不出三维效果，所以空间频域的谱就不展示了（其实就是我懒+手残……）。

那么当空间频率域的采样间隔 $.Delta u$ 、 $.Delta v$ 变大后，重建后的空间域信号周期会变小，如上图所示，当 $\frac{1}{\Delta u} > X$ 时， $x$ 方向的重建信号发生混叠，当 $\frac{1}{\Delta v} > Y$ 时， $y$ 方向的重建信号发生混叠。