原创 试写 量子统计系列 Chapter3 3.1晶格振动之爱恩斯坦模型part1

   注意，本篇博文是第一篇尝试写的学术博文，如果大家感到看不懂没有关系，因为我只是想看看大家都有什么响应，来决定以后是否写这个系列。还有本博文的公式原本出自于Latex，由于时间有限，所以大部分的公式会从一些网络书刊上截图。

好了，在统计力学系列（根据情况以后计划是否撰写）里，我们应该已经很熟悉微正则配分函数，正则配分函数，以及前面两个Chapter所讲的大正则分配函数了。这里我们利用两种方法来推演半经典量子力学体系的比热。

      大家在脑袋里试想量子力学的三维谐振子（如果可能我会出这个系列的）的模型。这里可以想象有个理想容器有固定的体积V，容器里放入N个粒子并且“人为地”给这些粒子施加一定能量U，让粒子产生q个能级（最简单的办法我们可以加热容器），这N个粒子都在受着谐振势场的影响，由于我们考虑三维情况，所以所有粒子共有3N的自由度。根据我们的量子力学初级篇，即可得知能量哈密顿表达式：

这样任意一个维度的能量就可以写为：（不知道怎么回事？如果有机会 请参见我的量子力学教程初级篇）

，也就是处于任意两个相邻能级的粒子能量差为。回想我们Entropy（熵）的定义，我们只要求出系统中粒子有多少种分布情况就能求出S。

让我们看看怎么做吧。

 首先，把N个粒子分布到q个能级**有多少种分法？高中排列组合看图：

图中画出了17个粒子，被9个板挡住（板就相当于能级），所以一共有（17+9 -1）！/(9-1)! 种排列组合。这里我们的粒子假设不可以辨别，也就是两个粒子交换顺序算作同一个粒子的话（波色子）我们还要除以(17!）。

不信的话掰手指头~~~~

好了有了这个我们计算整个系统的排列数吧：（定义N‘ = 3N）

进而求熵（代公式~~）

计算（利用Stirling近似，这里3N>>1,也就是远大于1）：

计算总能量U的表达式：

而我们想要温度与系统能量的关系，回想我们的Maxwell关系式：

把上面的形式重新写一下：

OK！！有了系统总能量，根据我们初级篇讲的比热定义去求比热：

当我们系统取 “低温”极限的时候比热：

“高温”极限的比热：

注意这里的高温 和 低温 极限 的比值，>>1为低温，<<1为高温。至于正真原理为什么，要在后面专门设一章分析。

好了 下一个part我们用配分函数来推导这个例子~。