原创 试写 量子统计系列 Chapter3 3.1晶格振动之爱恩斯坦模型part1

2013-12-11 21:39 1241 26 26 分类: 工程师职场

   注意,本篇博文是第一篇尝试写的学术博文,如果大家感到看不懂没有关系,因为我只是想看看大家都有什么响应,来决定以后是否写这个系列。还有本博文的公式原本出自于Latex,由于时间有限,所以大部分的公式会从一些网络书刊上截图。

 

好了,在统计力学系列(根据情况以后计划是否撰写)里,我们应该已经很熟悉微正则配分函数,正则配分函数,以及前面两个Chapter所讲的大正则分配函数了。这里我们利用两种方法来推演半经典量子力学体系的比热。

      大家在脑袋里试想量子力学的三维谐振子(如果可能我会出这个系列的)的模型。这里可以想象有个理想容器有固定的体积V,容器里放入N个粒子并且“人为地”给这些粒子施加一定能量U,让粒子产生q个能级(最简单的办法我们可以加热容器),这N个粒子都在受着谐振势场的影响,由于我们考虑三维情况,所以所有粒子共有3N的自由度。根据我们的量子力学初级篇,即可得知能量哈密顿表达式:

205126757.png

这样任意一个维度的能量就可以写为:(不知道怎么回事?如果有机会 请参见我的量子力学教程初级篇)

205058402.png,也就是处于任意两个相邻能级的粒子能量差为205340506.png。回想我们Entropy(熵)的定义205526284.png,我们只要求出系统中粒子有多少种分布情况就能求出S。

让我们看看怎么做吧。

 

 首先,把N个粒子分布到q个能级**有多少种分法?高中排列组合看图:

 

 

210849942.png

 

 

图中画出了17个粒子,被9个板挡住(板就相当于能级),所以一共有(17+9 -1)!/(9-1)! 种排列组合。这里我们的粒子假设不可以辨别,也就是两个粒子交换顺序算作同一个粒子的话(波色子)我们还要除以(17!)。

不信的话掰手指头~~~~

好了有了这个我们计算整个系统的排列数吧:(定义N‘ = 3N)

 

210848494.png

进而求熵(代公式~~)

 

210850165.png

计算(利用Stirling近似,这里3N>>1,也就是远大于1):

212328427.png

计算总能量U的表达式:

212329647.png

而我们想要温度与系统能量的关系,回想我们的Maxwell关系式:

212329887.png

把上面的形式重新写一下:

212329206.png

 

OK!!有了系统总能量,根据我们初级篇讲的比热定义去求比热:

212719154.png

当我们系统取 “低温”极限的时候比热:

212719871.png

“高温”极限的比热:

212720206.png

 

注意这里的高温 和 低温 极限 212927522.png的比值,>>1为低温,<<1为高温。至于正真原理为什么,要在后面专门设一章分析。

好了 下一个part我们用配分函数来推导这个例子~。

 

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