原创 一阶预测器的设计

一、实验内容<?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

设x(n)为AR(1)信号，x(n)+ax(n-1)=ν(n),其中ν(n)为零均值，方差为

σ_w²的白噪声。设计一阶预测器，用x(n-1)估计x(n)。

由一阶自回归方程产生的信号x(n)的自相关r_xx(m)= σ_w²(-a)^|m|/(1-a²),为使σ_x²=1，即：r_xx(0)= σ_w²/(1-a²)=1，则σ_w²=1-a²，取a=-0.99。

二、实验程序

function oneorderPredictor(mu)

N=1000;M=100;a=-0.99;

nu=normrnd(0,sqrt(1-a^2),N,M);

b_filter_coefficient=[1];a_filter_coefficient=[1,-0.99];  

x=filter(b_filter_coefficient,a_filter_coefficient,nu); 

y=zeros(N,M);   w=zeros(N,M);

for j="1:1:M"                          

        for i="1:1:N"

            if i>1  temp=x(i-1,j);

             else   temp=0; 

            end

             y(i,j)=w(i,j)*temp;

             e(i,j)=x(i,j)-y(i,j);

             w(i+1,j)=w(i,j)+mu*e(i,j)*temp;

       end

  end

w_mean=mean(w,2);     plot(0:N,w(:,j),0:N,w_mean)

   title('权重系数')

   xlabel('迭代次数')

   ylabel('权重值')

   figure

mse=e.*e;  mse_mean=mean(mse,2);                 

plot(0:N-1,e(:,j),0:N-1,mse_mean)

   title('均方误差')

   xlabel('迭代次数')

   ylabel('均方误差值')

三、运行图如下

1、下图为mu=0.05时的权重系数图和均方误差图

在matlab的command windows里面输入oneorderPredictor(0.05)得到：

<?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" />

图一 权重系数图

图二 均方误差图

由图一可以看到，最优权重系数的估计值w的均值,随迭代次数的增加最终趋近于0.9657，单次实现时，w的曲线上下波动，而平均后曲线则平滑了许多。。由题意可得：y(n)==wx(n-1)，此时信号x(n)的自相关距阵Rxx=r_xx(0)=1。因为我们是用x(n-1)去估计x(n)，则互相关矢量r_dx=r_xx(1)=-a。根据维纳-霍夫方程：R_xxw=r_dx，可以求出最佳滤波器系数w_o=R_xx^-1r_dx=-a=0.99。这个与我们用matlab防真出来结果非常地接近。

由图二可以看到，均方误差估计值随迭代次数的增加最终趋近于0.01443，此时自适应滤波器的权重系数达到最佳值。同样，单次实现时，曲线上下波动，而平均后曲线则平滑了许多。我们理论计算均方误差J=E[e(n)e^*(n)]=σ_d²-r_dx^Hw

-w^Hr_dx+w^HR_xxw=1-a²-a²+a²=1-a²=1-0.99²=1-0.9801=0.0199。由此可以看到理论分析与matlab分析结果相符。

2、当mu分别取0.1、0.05、0.01时，看均方误差的收敛速度。

程序清单如下：

function oneorderPredictor1(mu)

N=1000;M=100;

a=-0.99;

v=normrnd(0,sqrt(1-a^2),N,M);

b=[1];a=[1,-0.99];  

x=filter(b,a,v); 

y=zeros(N,M);       

w=zeros(N,M);

for j="1:1:M"                         

        for i="1:1:N"

            if i>1  temp=x(i-1,j);

             else   temp=0; 

            end

             y(i,j)=w(i,j)*temp;

             e(i,j)=x(i,j)-y(i,j);

             w(i+1,j)=w(i,j)+mu*e(i,j)*temp;

       end

  end

mse=e.*e;                       

mse_mean=mean(mse,2);                   

plot(0:N-1,mse_mean)

   title('均方误差')

   xlabel('迭代次数')

   ylabel('均方误差值')

在matlab的command windows里面输入oneorderPredictor1(0.01)，然后输<?xml:namespace prefix = w ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:word" />入hold on，再输入oneorderPredictor1(0.05)、oneorderPredictor1(0.1)，就可以得到图三。

图三 mu取不同的均方误差

可以观察到当mu=0.01时，均方误差达到最小也即自适应滤波器的权重系数达到最佳值，需要的迭代次数大概为500次；当mu=0.05时，均方误差达到最小，需要的迭代次数大概为200次：当mu=0.1时，均方误差达到最小，需要的迭代次数大概为120次。

可以得出，收敛因子mu值越大，自适应过程收敛越快，即自适应滤波器的权重系数达到最佳值越快。