原创 二阶自回归信号模型AR（2）

由于文章中的公式是用公式编辑器编辑的，所以在博客里面也许看不到，所以提供WORD的版本。

一 、二阶自回归信号模型<?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

二阶自回归信号模型（AR2）：<?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" />，其中，，为实数，是零均值，方差的白噪声。

由此可以求出滤波器的传递函数为

可求得极点：

要使系统稳定，两个极点都必须在单位圆里面，则的取值在（,,,）包含的区域里。（）分别取（-0.1，-0.8），（0.1，-0.8），（-0.975，0.95）。

二、通过matlab软件运行并分析结果。

1、程序及其在MATLAB上运行的图

1.1、当时

程序如下：

N=1000;x=normrnd(0,1,N,1);

b=[1];a=[1,-0.1,-0.8];y=filter(b,a,x);

x_mean=mean(x);x_variance=var(x);

y_mean=mean(y); y_variance=var(y);

x_autocorr=xcorr(x,x,'biased');

y_autocorr=xcorr(y,y,'biased');

x_Psd=abs((fft(x))).^2/N;

y_Psd=abs((fft(y))).^2/N;

subplot(3,2,1);plot(x(1:200));title('经过滤波器前的x的波形图');

xlabel('n');ylabel('x');

subplot(3,2,2);plot(y(1:200));title('经过滤波器后的y的波形图');

xlabel('n');ylabel('y');

subplot(3,2,3);plot(-100:100,x_autocorr(900:1100));

title('x的自相关图');xlabel('x');ylabel('x-autocorr');

subplot(3,2,4);plot(-100:100,y_autocorr(900:1100));

title('y的自相关图');xlabel('y');ylabel('y-autocorr');

subplot(3,2,5);plot(x_Psd);

title('x的功率谱密度图');xlabel('n');ylabel('x_Psd');

subplot(3,2,6);plot(y_Psd);

title('y的功率谱密度图');xlabel('n');ylabel('y_Psd');

在matlab上运行的图如下：

图一

1.2、当时

程序与1.1相同，只是将黑体加下划线的a改为a=[1,0.1,-0.8]。

在matlab上运行的图如下：

图二

1.3、当时

程序与1.1相同，只是将黑体加下划线的a改为a=[1,-0.975，0.95]。

在matlab上运行的图如下：

图三

2、结果分析

2.1、自相关分析

可以用[r,p,k]=residue([1,0],[1,a₁,a₂])函数求出H(z)的极点和系数，则H(z)可以分解为：，系统的冲击响应：，可以求出其自相关为：。

根据极点计算公式，可求出三种情况下不同的极点：

①当a1=<?xml:namespace prefix = st1 ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:smarttags" />-0.1  a2=-0.8时，利用residue函数求出传递函数H(z)的极点

[r,p,k]=residue([1,0],[1,-0.1,-0.8])，得到：

r =           p =                 k =

    0.5279           0.9458           [ ]

    0.4721           -0.8458

此时，H(z)=0.5279z/(z-0.9458)+0.4721z/(z+0.8458)，由此可以得到系统的冲击响应：h(n)=(0.5279*0.9458ⁿ+0.4721*(-0.8458) ⁿ)*u(n)

冲击响应函数的自相关函数为：

r_hh(m)=0.5279²*0.9458^|m|/(1-0.9458²)+0.4721²*(-0.8458)^|m|/[1-(-0.8458)²]+0.5279*0.4721*[0.9458^|m|+(-0.8458)^|m|]/(1+0.9458*0.8458)

=2.7808*0.9458^|m|+0.9215*(-0.8458)^|m|

由于极点的绝对值小于1，而且r_hh(m)为0.9458^|m|和(-0.8458)^|m|的函数，则自相关函数会随着|m|的增大而指数衰减。由于包含有正负极点，正极点的绝对值较大，则自相关函数在衰减的同时出现小幅度波动，且大部分波动都是在零以上波动。

 ②当a₁=0.1  a₂=-0.8时，

[r,p,k]=residue([1,0],[1,0.1,-0.8])，得到

r =              p =             k =

    0.5279            -0.9458          []

    0.4721             0.8458

则同理可以得到

r_hh(m)= 2.7808*(-0.9458)^|m|+0.9215*0.8458^|m|

由于极点的绝对值小于1，而且r_hh(m)为(-0.9458)^|m|和0.8458^|m|的函数，则自相关函数会随着|m|的增大而指数衰减。由于包含有正负极点，正极点的绝对值较小，则自相关函数在衰减的同时出现波动，且波动都是在零上下波动。

③当a1=-0.975  a2=0.95时：

[r,p,k]=residue([1,0],[1,-0.975,0.95])

r =               p =                     k =

0.5000-0.2888i       0.4875 + 0.8440i         []

0.5000+0.2888i       0.4875 - 0.8440i

此时p1=p2^*，p1=0.9747e^1.049i，p2=0.9747e^-1.049i

。

其中:r₁=0.5774e^-0.5238i,r₂=0.5774e^0.5238i,p₁=0.9747e^1.049i,p₂=0.9747e^-1.049i。

此时极点为一对共轭复极点，极点的模值小于1，r_hh(m)是复极点的的|m|次方的函数，则自相关函数会随着|m|的增大而指数衰减，幅度会越来越小。共轭极点的模为r=0.9747，幅角频率ω=1.049，则自相关函数会按照模r指数同时以频率ω振荡衰减。

2.2、功率谱分析

功率谱密度为0到2π间的频率分布，图中相当于把2π分为1000等份，起点为1对应低频，终点为1000对应低频，中间点501对应高频（π）。

①    当a1=-0.1  a2=-0.8时

则：

由于极点一个为正，一个为负，所以功率谱在w=0和π出现峰值，w=0时极点0.9458离单位圆距离比w=π时极点-0.8458离单位圆的距离小，则此时正极点作用大，w=0时|H(e^jw)|最大。即|H(e^jw)|在低频时分量较大，可以看作其具有低通性质。得到的功率谱密度曲线和理论分析一致。

②    当a1=0.1  a2=-0.8时

则：

由于极点一个为正，一个为负，所以功率谱在w=0和π出现峰值，w=0时极点-0.9458离单位圆距离比w=π时极点0.8458离单位圆的距离小，则此时负极点作用大，w=π时|H(e^jw)|最大。即|H(e^jw)|在高频时分量较大，可以看作其具有高通性质。得到的功率谱密度曲线和理论分析一致。

③    当a1=-0.975  a2=0.95时

则：

此时极点是一对共轭极点，所以功率谱在w=1.049和-1.049处出现峰值。

在本次实验中，可以计算出在n₁=(1.049/2π)×1000=167,n₂=[(2π-1.049)/2π]×1000=833处出现峰值，由此可以得到的功率谱密度曲线和理论分析一致。