原创 快速计算正弦波

2006-11-20 21:14 4111 5 5 分类: 处理器与DSP
在DSP运用中,经常需要产生正弦波。如果直接用c的数学函数sin,当然可以产生正弦波,但是由于sin函数本身的效率很低,产生正弦波所需要的MIPS就会占去DSP处理能力的相当大的一部分。本章介用递推数列算正弦波的方法,先介绍原理,推导出递推公式,然后用浮点小数实现计算,再用定点小数进一步优化算法,最后进行误差分析,并提出更精确的定点小数算法。
先来看看如何推导出递推数列的公式。
我们所要产生的正弦波,其实是一系列的整数,把这些整数按照一定的取样频率发送给数模转换器,就可以变成真正的正弦波了。假设取样周期是Ts,产生的正弦波的圆频率为w,那么我们需要产生的数列就是:
sin(0), sin(w*Ts), sin(2*w*Ts), ... sin(n*w*Ts)
假设f(n)= sin(n*w*Ts),则问题就变成,从f(n-1), f(n-2), f(n-3),..., 如何计算f(n)了。解决了这个问题,也就找到了递推公式。
下面是这个递推公式的求解过程,假设x=w*Ts:
公式:sin( a + b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b)
sin( x + (n-1)x ) = sin(x)*cos( (n-1)x ) + cos(x)*sin( (n-1)x )
公式:Sin(a)*cos(b) = 1/2 * [ sin( a+b ) + sin( a-b ) ]
sin(x)*cos( (n-1)x ) = 1/2 * [ sin(nx) - sin( (n-2)x ) ]
sin(nx) = 1/2 * [ sin(nx) - sin( (n-2)x ) ] + cos(x)*sin( (n-1)x )
sin(nx) = 2*cos(x)*sin( (n-1)x ) - sin( (n-2)x )

我们看到这个递推公式是:
f(n)=2*cos(w*Ts)*f(n-1) - f(n-2)
也就是说只要知道最初始的两项f(0)和f(1),就可以计算出整个正弦波了。

根据上面的递推公式,很容易写出下面的正弦波计算程序。只要事先计算一次sin(w*Ts)和cos(w*Ts),以后的值就可以通过递推公式得到,所以计算一个值所需要的工作就是一次乘法,一次加法,两次变量复制而已了。
以下内容为程序代码:



float y[3] = {0, sin(w*Ts),0}; // y(n), y(n-1), y(n-2)
float a1=2*cos(w*Ts);
float a2=-1;
float singen(){
        y[0]=a1*y[1]+a2*y[2];
        y[2]=y[1];
        y[1]=y[0];
        return y[0];
}



假如我们需要产生取样频率为8KHz的440Hz的正弦波,那么a1=2*cos(2*pi*440/8000)=1.8817615,而y[1]=sin(2*pi*440/8000)=0.33873792。

现在看如何用定点小数来更快的计算正弦波。我们使用16bit也就是short型的整数来表示定点小数。首先需要决定的是小数的Q值,虽然我们最后计算的正弦波的值都是小于1的,但是在计算过程中需要用2*cos(w*Ts),而这个值最大为2,所以我们选择的Q值必须至少最大能表示2。这里我们选择 Q14,Q14的定点小数能表示-2到2的取值范围,对于本例的正弦波计算正好合适。1.8817615的Q14值是1.8817615*2^14= 5550=0x786F,同样0.33873792的Q14值为0x15AE。

下面就是完整的计算8KHz取样频率的400Hz的定点小数的正弦波的程序。
以下内容为程序代码:



short y[3] = {0, 0x15AE,0}; // y(n), y(n-1), y(n-2)
short a1=0x786F;
short a2=0xC000;
short singen(){
        y[0]=( (long)a1*(long)y[1]+(long)a2*(long)y[2] )>>14;
        y[2]=y[1];
        y[1]=y[0];
        return y[0];
}


使用定点小数计算不但速度比浮点更快,而且计算得出来的值是整数,这个数值可以直接传递给DAC(数模转换器)转换为模拟的声音信号,如果使用浮点小数计算的话,还必须把浮点数转换为整数才能传递给DAC。

使用定点小数计算必须仔细分析误差,下面来看看我们产生的正弦波的误差是多少。定点小数计算中的误差就是由定点小数表达精度决定的。在上面的例子中我们用 0x786F表示1.8817615,这存在一定的误差,把Q14的0x786F再转换为浮点数就是0x786F/2^14=1.8817749,我们可以看到相对误差非常小,也就是说最终得到的正弦波在频率上的误差也是非常小的。

但是,定点小数并不是什么时候都这么精确。例如如果用CD 音质的取样频率44100Hz来产生100Hz的正弦波,那么a1=2*cos(2*pi*440/44100)= 1.9960713,这个数转换为16比特的Q14的值是0x7fc0。我们可以看到这时定点小数已经十分接近0x7fff了,最终产生的正弦波的频率也会有很大的误差。为了能够精确地计算这样的正弦波,必须使用32bit的Q30定点小数。关于32bit定点小数的计算方法将在别的章节介绍。

另外上面的singen函数每调用一次只产生一个值,如果要产生实时的正弦波的话,函数的调用频率和取样频率相同,DSP的负担相对比较大。一般DSP计算都采取块计算方式,一次计算n个(例如64)个取样值,这样不但减少了函数的调用负担,也可以减少中间的内存移动的次数(y[2]=y[1];y[1]= y[0];)。

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