原创 底层硬件如何实现浮点运算

底层硬件如何实现浮点运算

首先，我们需要明确一个概念：FPGA所能表示的信号电平只有0和1。如表1所示，如果给出一组16位二进制数据，一般人肯定会很自然的认为它代表的是一组相应的10进制整数。<?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

表1

在不涉及浮点数之前（我们暂不讨论符号问题），的确就这么简单。但是现在我们换个角度来看看同样的一组16位二进制数所代表的浮点数值。

    首先，我们要讨论定标的问题。如果定义了16位二进制数中的后8位代表小数，高8位依然代表整数，那么这个小数的最小单位是1/256（0.0039065），代表了这个浮点数的精度。同样的，表2列出了16位二进制数不同定标值的对应精度。

表2

    如表3所示，列出了定标为8的16位二进制数组所代表的浮点数。感兴趣的朋友也可以自己算一遍，加深理解。

表3

    下面我们就要实现一组很有意思的运算：

R = 1.164(Y-16) + 1.596(Cr-128)

G = 1.164(Y-16) - 0.391(Cb-128) - 0.813(Cr-128)

B = 1.164(Y-16) + 2.018(Cb-128)

这是图像处理中YCbCr转换为RGB的公式。我们不讨论它的具体涵义，我们只研究如何实现这样一组运算。R、G、B、Y、Cr、Cb这些变量都是8位无符号二进制整数，取值可以为0-255的任意值。

对上述公式中的出现的小数我们用一个12位数表示，我们注意到这些浮点数的整数部分最大值为2，那么我们只使用2位二进制数（可以表示0-3的整数，满足应用要求）来表示整数部分即可。用剩下的10位二进制数来表示小数部分。我们的思路是：先对这些浮点数左移10位（放大1024倍），然后代入公式运算，运算完成后对得到的RGB数据值右移10位（缩小1024倍）。

R*1024 = 1192*(Y-16) + 1634*(Cr-128)

= 1192*Y + 1634*Cr – 228224

= RR

G*1024 = 1192* (Y-16) – 400*(Cb-128) – 832*(Cr-128)

        = 1192*Y – 400*Cb – 832*Cr + 138624

        = GR

B*1024 = 1192* (Y-16) + 2066*(Cb-128)

            = 1192*Y + 2066*Cb – 283520

            = BR

    这个运算也不是就此就结束了，由于在对浮点数的放大缩小过程中难免出现四舍五入的状况，因此也就带进了一定的误差。这个误差也许无关痛痒，但是在R、G、B计算的两个极端值（0或者255）附近就有可能出现类似溢出的问题。

    所以，上一步运算完成得到的RR、GR、BR值需要做一些判断处理后再输出。Y、Cr、Cb位宽是8，浮点参数的位宽是12，那么RR、GR、BR值的位宽就取20（对于这个特定的公式，该位宽是绰绰有余的）。RR、GR、BR值右移10位后得到的RGB值是10位，而实际上使用低8位就足以表示实际值。但是此时有可能出现一些超出8位值的数据，这些数据就是放缩误差带来的牺牲品，我们对它的判断准则是：主要是针对RGB数值的最高2位取值，如果是00，则说明该值处于正常范围，直接输出低8位数据；如果是01，那么该值一定是正向溢出了，取低8位数据为255输出；如果是11，那么该值一定是负向溢出了，取低8位数据为0输出；该实例放缩1024倍，精度比较好，理论上不会出现最高两位是10的情况。

    关于更多应用可以参考xilinx的IPcore中的一些运算相关的datasheet，《cordic.pdf》就是一份不错的资料。