标签: 傅里叶变换

讲变频器的原理，绕不开傅里叶级数。 * * * * * * * * 傅里叶级数 法国数学家傅里叶发现，任何周期函数都可以用正弦函数和余弦函数构成的无穷级数来表示（选择正弦函数与余弦函数作为基函数是因为它们是正交的） 这不是一句人话。 我学的高等数学早已还给了老师，我也不会用人话说傅里叶级数。从网上找到一个这个级数的函数表述： 下面给出了二个函数合成后的图形。 上面是两个正弦波，其中一个的频率是另一个的3倍。将两个正弦波相加，就得到了下面的那张图形。 假设第二号波形幅值只是第一个波形的1/3。此时，只有波峰受影响。 因此，变频器利用这个傅里叶级数的原理，将它的输出的电压波形做成如下: 这是一组有宽窄有特定规律的方波，图中的蓝线所示。这些方波，可以 等效 成是一个“正弦”波，图中的粉红色线所示。 这个结论，我水平有限，不会证明。我下一篇中会解释实现这个方波的原理。

九年前，当我还坐在学校的物理数学课的课堂里时，我的老师为我们讲授了一种新方法，给我留下了深刻映像。 我认为，毫不夸张地说，这是对数学理论发现最广泛的应用。应用的领域包括：量子物理、射电天文学、MP3和JPEG压缩、X-射线晶体学、语音识别、PET或MRI扫描。这种数学方法叫做傅里叶变换，这种方法因18世纪的法国物理学家、数学家约瑟夫·傅立叶（Joseph Fourier）而得名。这种方法甚至被詹姆斯·沃森和弗朗西斯·克里克用来解码由罗莎琳德·富兰克林通过X射线得到的DNA双螺旋结构。（克里克是傅里叶变换的专家，他写过一篇名为《傅里叶变换在观鸟者中的应用》的趣文，来向名为沃森的观鸟爱好者解释这一数学概念。） 无论你在听MP3格式的歌曲，还是在网页上浏览图片，或者向SIRI提问，甚至打开收音机时，你都可能在日常生活中应用了演化的傅里叶变换。（顺便说一下，傅里叶并不是一个敷衍取巧的人。在他研究的理论物理和数学之外，他还是第一个发现温室效应的人）。 那么，什么是傅里叶理论呢，为什么他的这个理论如此有用？想想你在钢琴键盘上敲响一个音符。当你按下琴键的时候，钢琴中有一个小锤来来回回地敲击一根琴弦（对于音准do大约是440次每秒）。随着琴弦振动，它周围的空气分子也来回震动，从而创造了一波震动的空气分子，我们称之为声。如果你能看空气中进行的这种有规律的舞蹈，你会发现一系列平稳，起伏的，无休止的重复。这就是所谓的正弦波曲线，或正弦波。（特别说明：在钢琴的例子中，肯能会产生不止一条正弦波实际演奏中，钢琴音色的丰富性正是来源于在主要正弦波之外的那些轻柔的泛音。钢琴的音符可以大致模仿一条正弦波，但是对于单一的正弦波声音来说，音叉发出的声音是一个更加贴切的例子。） 现在，让我们暂时放下单独一个音符，而考虑由三个按键同时发出的和弦声。和弦结果的声波并不漂亮——它看起来杂乱无章。但是，在这混乱的背后有一个简单的模型。毕竟，和弦只是三个音符的相互融合与碰撞，因此这样混乱的声波，实际上只是三种音符（正弦曲线）的和而已。 傅里叶认为这不仅仅音乐和弦的特殊属性，而可以推广应用到一切重复的波形中，无论这个波形是方形，圆形，波浪，三角形伙食其他。傅里叶变换像是一种数学棱镜——你输入一个波形并且将这种波形分解为不同成分——这些音符（正弦曲线）会相互叠加而形成新的重建波形。 如果这听起来有一些抽象的话，有一些可视化的方式来使得傅里叶的方法更加直观。第一种方法是有卢卡斯（Lucas V. Barbosa）提出的。他是一名来自巴西的物理学学生，他将业余时间无偿用于为维基百科制作关于数学和科学的动画，在维基百科上他被称为“LucasVB”。 那么，现在让我们来看看输入一个方形波，经过傅里叶变换后，会输出怎样的波形。 在这些图形中（点击这里可查看 GIF 动态图），红色的方形波被分离为单纯波形的集合（蓝色的正弦曲线）。将这些蓝色波形认为是红色波形的数学成分列表。在这个比喻中，傅里叶变换就像是一种药方——他准确地告诉你要重建原始波形，每一种简单波形你要使用多少。动画中的垂直蓝色线，是每种波形数量的直观表示。 思考这个问题，还有一种由马修·亨德森（ Matthew Henderson or Matthen）提供的方法。他是剑桥大学的博士生，并且对于创建数学动画模型非常有兴趣。他用圆形而不是正弦曲线来解释傅里叶变换。这种方法包含了一组不同大小的源，每个圆的圆心都在一个更大的圆的边缘上。然后，这些圆开始转动，大圆在小圆的周围摆动，小圆的运动速度大于大圆。如果你追踪最小圆上一个点的运动轨迹，如下面的动画和截图所示，你可以重建任意形状的波形。傅里叶变换再一次告诉你波形是怎样产生的：以怎样的速度去移动哪些圆。 如果你年纪够大以至于你用过呼吸量描记仪，那么通过层叠的齿轮来描述复杂模型的想法你可能很熟悉。LucasVB在同一个动画上制作了互动的版本，使得你可以随意改变圆圈的大小。 总的来说，傅里叶变换告诉你，在一个整体的波形中，每一个单独的“音符”（正弦曲线或是圆圈）的比例。这就是傅里叶变换如此有用的原因。想象一下，你正在和你的朋友通电话，同时你想让他们能够画出近似方形的波形。复杂的方式是读出一长串的数字，每个数字表示了相应时间点上波形的高度。有了这些数字，你的朋友可以耐心地绘制出原始波形。这就是原始的音频格式比如WAV的基本原理。但是，如果你的朋友知道傅里叶变换，那么你可以更加聪明地完成这个工作：你只要告诉他们少量数字——上图中提到的不同的圆的尺寸。他们可以用这些圆来重建原始波形。 这不仅仅是数学花招。傅里叶变换出现在几乎所有存在波形的地方。无处不在的MP3格式使用一种变形的傅里叶变换来达到相比之前的WAV（读作“wave”）更大的压缩率。对于每个音频片段，傅里叶变换将音频波形分解为它的成分音符并且保存下来，从而代替存储原始波形。傅里叶变换还可以告诉你在一首歌中每个音符所占的比例，你可以知道哪些音符是这首歌的基本元素。音调很高的音符并不重要（我们的耳朵几乎不能听见），因此，MP3格式放弃保存这些音符，从而取得了更高的数据压缩率。这正是高保真音响爱好者不喜欢MP3格式的原因——它不是一种无损的音频格式，高保真爱好者表示他们可以听出其中的差别。 这也是智能手机的应用程序Shazam怎样识别一首歌的原理。它将音乐分割成块，利用傅里叶变换算出每一块中的音符成分。然后它搜索数据库，来寻找这样的“音符指纹”与他们已有文件中的一首歌相匹配。语音识别同样使用“傅里叶——指纹”的思想，将你的声音与已知单词列表进行比较。 你也可以在图像上利用傅里叶变换。有一个极好的视频来说明你怎么利用圆圈来绘制辛普森的脸。在线百科全书Wolfram Alpha采用了相似的理念来绘制名人头像。听起来，这似乎可以存下来用于一个恶搞的鸡尾酒会，但是，这种方法也用于将图像压缩为JPEG文件。在以前的微软绘图中，图像是用位图（BMP）存放的，这种文件包含了一长串的数字，代表对每个像素点的颜色编码。JPEG格式就相当于图像格式中的MP3格式。建立一个JPEG文件，你首先将图片分割为很小的块，每块都是8像素*8像素。对于每个像素块，你可以用与重建辛普森的脸相同的画圆的办法来重建局部图像。正如MP3放弃保存高音一样，JPEG不保存极小的圆。这样做的结果是：牺牲了小部分的画面质量，来取得文件大小的巨大压缩。这样的理念，使得我们都喜欢的可视化网络世界成为可能（同时最终让我们得到了GIF格式）。 在科学研究中，傅里叶变换又有怎样的应用呢？我在推特上邀请科学家们来描述他们在工作中是怎样应用傅里叶的思想的。他们的回复使我惊讶。做出回复的科学家表示，他们正在利用傅里叶变换：研究不同的潜水器结构与水流的相互作用，试图预测即将到来的地震，识别距离遥远的星系的组成部分，寻找热量大爆炸残余物中的新物理成分，从x射线衍射模式揭示蛋白质的结构，为NASA分析数字信号，研究乐器的声学原理，改进水循环的模型，寻找脉冲星（自转的中子星），用核磁共振研究分子结构。傅里叶变换已经被用于通过破译油画中的化学物质，来识别假冒的杰克逊·波洛克绘画。 哇！这仅仅是一个相当传统的小数学技巧！ 伯乐在线 - programmer_lin 译文链接： http://blog.jobbole.com/51301/

不能有效编辑，贴图了 呵呵          

快速傅里叶变换（FFT）频率分析 示波器有很强的分析信号频谱的能力；快速傅里叶变换（FFT）现在是几乎所有数字示波器的标配工具。以下是关于如何设置和使用FFT进行频谱分析的实验指导书。 设备要求 WaveRunner Zi系列的示波器 10:1 高阻抗无源探头. 初始化设置 本指导书的初始化设置是基于WaveRunner 6 Zi 示波器实现: 1.将无源探头连接到通道1，再连接在示波器前面板的CAL测试点； 2.进行初始化设置：点击文件下拉菜单，选择Recall Setup，再点击Default Setup。 3.关闭通道2. 4.设置示波器：按下Scope Setup，然后在弹出菜单中选择Auto Setup。 初始化设置完成，示波器显示如图1所示。 图1: 初始化设置，输入信号为1KHZ的校准方波信号 使用时基下拉菜单中的水平设置或者点击屏幕右下角的时基设置快捷菜单，打开时基对话框，固定最大存储为50kS，并且将时基改变到20ms，如图2所示，在250KS/S的采样率下，我们可以获得50,000个点，记录长度为200ms。  图 2:  时基捕获设置可以获得200ms的记录长度 使用Math下拉菜单，打开Math对话框，选择F1标签，设置F1的Math通道显示C1的FFT变化，如图3所示。 图3: 数学通道F1的基本FFT设置 我们可以在右下方的FFT标签中找到FFT设置的控制，包含FFT结果的类型，算法和窗口。 在如图4表格中选择可以需要使用的类型。从数学的角度来看，FFT运算是非常复杂的，它的输出形式由实部和虚部两部分组成。 图4:  输出结果类型的选择 幅度：FFT分解后的正弦信号上每一个频率点的峰值，幅度大小是线性的（电压），进行频谱加和减的数学操作中是非常方便的。 幅度的平方：这种方法对于将频谱作为频率的函数的积分很有用。 功率频谱 (默认输出格式)：相对于频率函数的功率。 用对数函数表示，单位为1mW（dBm）。这是一种非常好的观察方式，提供了宽动态范围以便于观察频谱的细节。 功率谱密度：每一个频率对应的功率值（功率谱除以FFT的等效噪声带宽），垂直刻度也是用dBm的对数单位，适用于观察频谱幅值的测量值，由于带宽是已经定义的，所以，不会改变FFT的分辨率带宽。 相位： 相位TAN-1 (虚/实) 代表FFT的每一个频率的相位。 轮流 使用所有的类型，我们可以从F1通道的注释框的报告中了解到不同类型对垂直大小和单位的影响，然后将输出选择为功率谱。 算法选择 在图5中提供了2种可选算法。默认算法为 Power2，这种算法提供了FFT的快速运算。示波器的时基通常为1,2,或者5的倍数，使用Power2只会得到所有捕获数据一半进行运算，而Least Prime算法可以在运算稍微慢些，但是它是对成所有捕获数据进行运算。 图5:  FFT 算法选择 在图6中，我们可以在F1数学标签的右下方对话框中得到FFT状态的总结，上面会对FFT的转换大小和分辨率带宽进行描述。                                        图 6:  Power2算法 选择Power2算法，当转换大小得到50,000个点时，此算法仅仅只能使用32768个点（2的幂小于50,000） 分辨率带宽(Df),频谱中频率步进的大小为8Hz，在分辨率带宽下方是FFT范围，Df从8Hz到125kHz。 选择Least Prime算法，查看FFT状态栏，如图7所示。注意，现在使用了全部的50,000点，因为使用了一个长的记录长度，所以，分辨率带宽(Df)已经减少到5Hz. 图7: Least Prime算法的FFT状态栏 如何决定FFT频率分辨率和频谱范围 正如我们在前面了解的，FFT的频率分辨率与捕获数量和记录的长度有关，频率分辨率是示波器捕获时间的倒数。在图7的例子中捕获到了200ms的数据(20ms/格，10格)，频率分辨率就是1/200ms或者5Hz。 FFT频谱的范围是示波器采样率的一半。在上面设置中采样率是250kS/s，所以范围是125 kHz。 打开时基对话框，将Time/Division设置从20 ms/division增加 到50 ms/ division，采样率将减少到  100kS/s，返回到F1设置的FFT标签。频谱跨度现在是50kHz;为采样率的一半。因为捕获时间减少到500ms，所以，频率分辨率从5HZ减少到2HZ(1/500 ms = 2 Hz)。 还原Time/division设置到20ms，关闭通道1显示，将FFT的算法重新选择到Power 2。 使用放大功能设置中心频率和水平刻度 我们之前谈论过的FFT频谱范围是采样率的一半，你可以使用数学通道中的放大功能选择一个中心频率和水平刻度来观察FFT。 点击F1对话框中的放大标签，我们可以观察1kHz的频谱线。 点击水平放大区域的中心频率栏两次，会弹出一个小键盘，输入中心频率1 kHz然后点击OK。 点击Scale/Div栏两次，会再次弹出小键盘，输入值200 (Hz)然后点击OK。FFT显示为水平大小为200HZ每格，中心频率为1KHZ。 在垂直放大区域检查增益工具栏，允许我们设置1-2-5步进外的其它大小。点击Ver/div工具栏, 输入值12，设置垂直大小为12dB/div，点击垂直中心工具栏，它会高亮显示。使用WavePilot SuperKnob  (或者前面板的垂直偏置按钮)改变FFT垂直显示，直到频谱的峰值刚好显示在屏幕内，如图8所示； 图 8: 使用F1函数对话框中的放大标签设置FFT显示的中心频率和频谱范围 我们可以使用函数放大控制去进行垂直和水平方向的中心值及大小的设置，使用这种技巧有可能在屏幕中显示FFT频谱的任何部分。 加权窗函数选择 傅里叶变换计算是假定输入信号的长度是无穷大的，显然，示波器是有限的记录长度。使用有限的长度进行傅里叶变换的结果就是产生接近于信号频率的边带，这些边带显示看起来像很宽的“裙子”。回到F1对话框中的FFT标签，点击窗函数工具栏，将会出现如图9所示的可使用的加权窗选项；对话框有5个窗函数选项，矩形窗 Rectangular, 海明窗Hamming, Von Hann (汉宁窗), 布莱克曼.哈里斯窗Blackman Harris,和平顶窗 Flat Top.  选择 矩形窗。 图9:  加权窗函数选择 矩形窗应用没有加权，但是，可以在有限记录长度下显示FFT。你可以把它理解为一个无穷输入记录加权于一个持续单一振幅矩形脉冲等于范围的采集时间(矩形窗的名字由此而来)。现在，FFT频谱显示应该是在基频1KHZ往两边扩展，裙带宽度大概在800Hz，如图10所示。 图10: 使用矩形窗的FFT频谱 其它窗口运用多种多样的上升的正弦曲线窗去显示FFT的结果。在图11中，我们可以看到在水平大小为20HZ/格下，每个窗函数叠加的频谱响应曲线。注意，使用加权功能的作用是减少边带大小，但是，同样的也会加宽主频谱线，拓宽是表示在FFT状态下提高实际噪声带宽(ENBW)。 图 11:  频谱响应中加权窗的作用 逐步选择每一个窗函数并注意FFT结果，当您逐步选择并观察FFT标签下的ENBW时，你会发现这个值和拓宽的窗成正比。 矩形窗加权使用瞬态信号，可以产生在捕获范围内的任何位置。这是因为对捕获到的长度的加权是统一的。 海明和汉宁加权是非常好的窗函数会带来良好的旁瓣压制和标称拓宽。布莱克曼.哈里斯和平顶窗的广泛响应加权在频域上有最好的幅值平坦度。 完整的窗函数特征可以在示波器FFT界面的在线帮助下可以查看到。 返回FFT窗函数设置为汉宁窗（Vonn Hann）并且重置缩放设置 (放大标签，选择重置放大). FFT频谱平均 示波器能够在时域上平均FFT波形。频谱平均是与FFT进程同步形成一个总体的平均，在FFT中的每个频率点是平均值与随后的快速傅里叶变换的点对应的。 对于一个8bit的示波器而言，平均可以改进频谱的信噪比并且增加FFT平均的动态范围到72dB，平均处理的这种方法与频谱平均的数量是成正比的。 进入F1函数对话框，按下“dual”按钮将会在F1通道启动第二个函数运行符号。点击Operator 2工具栏，从弹出的菜单中选择平均，在右手边会出现平均的标签，打开平均标签，按下标记为持续的按钮并且设置平均的数量为10。示波器屏幕显示如图12，请注意基线的厚度。 图12:  设置频谱平均 增加平均的数量从10到100。平均将会重新开始，在100次平均之后，注意看基线的厚度已经减小了。 增加平均的数量到1000, 将会减少基带的噪声。平均可以改进FFT的信噪比。 平均分为总数平均和持续平均。总数平均是对预设置频谱平均的数量完成后就会停止。持续模式将通过保持一个移动的窗口持续平均，新的频谱比旧的数据有更多的权重。两者中任何一种模式以同样的方式工作,平均的数量越大越信号噪声改善越好。 如果选中这个复选框不包括任何频谱，原因是示波器输入过载，此时，是无效的，请注意跳过平均标签下的输入对话框设置。 其它 点击FFT标签，注意，这里有Trunc(ate)和Zero Fill两个按钮。它们仅仅用在FFT信号输入比期望中要短的情况下。这种情况出现在数据源有过滤（像通道噪声过滤或者使用数字滤波（DFP2）选件）。数字滤波将会移除信号中的样品 (滤掉的点是无法得到的)。FFT需要一个固定的样品数，所以，这两个按钮会告诉FFT，如果记录的样品数不够应该怎么做。 如果Truncated被按下，就会在下一个减少的标准记录长度下进行短FFT变换。 如果选择Zero Fill按钮，FFT将会进行权重充满来增加丢失的点(第一个和最后一个点的输入幅值将决定增加的点得幅值范围，从而产生一个持续的转换)。 如果需要计算FFT中的直流点，请在抑制直流复选框中选择确定。初始化是不会计算直流点的，使用者可以选择添加直流点。 在示波器的在线帮助里面可以找到完整详细的关于快速傅里叶变换的信息。 其它信息可以在力科的主页里面的主要应用中找到； “ Setting Up An FFT In WaveMaster” LAB WM 714  “Using Long Fast Fourier Transforms” LAB 773 完成训练。 美国力科公司深圳代表处     朱伟   译