我们输入一个有关时间t的函数，就会得到一个有关ω的输出函数，这个公式会告诉我们信号中存在哪些正弦波。为什么这么说呢？
如果我们输入一个纯余弦函数或纯正弦波函数，输出函数只有一个尖峰，因为余弦函数是关于y轴对称的，所以你会看到两个尖峰，如下图所示
而且这两个尖峰对应的角频率ω=2和ω=-2
如果我们输入的是一个非周期函数，经过傅里叶变换就会得到一个更为复杂的结果，因为这个非周期函数需要无穷多个正弦波的叠加才能形成
如下图所示：中间的蓝色部分，是无穷多个正弦波的叠加，构成了非周期的方波。右边的波浪线是f(t)在各个频率上的分布强度，可以理解为正弦波的强度
在这里有一个非常有意思的结论：傅里叶变换的零点，表示的是原始信号曲线下的面积，
在这里，当角频率ω=0的时候，变换公式中有关e的指数项等于1
所以我们就得到了一个一般性的积分公式，它就是曲线下的面积，如下图所示
用图解的方法解读傅里叶变换的本质原理
傅里叶变换为非周期函数的处理提供了强有力的数学工具，我们用欧拉公式将e的指数项分解为实数和虚数两部分
我们以矩形函数为例，这个矩形函数的T=∞，左边对应的是实数情况下的余弦波，右边对应的是复数情况下的正弦波函数，我们来看这个波形是如何与傅里叶变换对应的
因为矩形波在-0.5<t<0.5的情况下等于1，其余都等于0，所以就是如下的图形
正余弦阴影区域的面积之和就是我们要得到的傅里叶变换
如下，当角频率ω=2.14时，左边图形下的面积=0.82，右边等于0，所以ω=2.14时傅里叶变换就等于0.82
但有一个有趣的结论：ω=0时，傅里叶变换的值就是原函数曲线下的面积，如下图面积等于1，但右边的波形区域下的面积始终等于0
我们继续，当ω=6.28=2π时，左边的余弦波图形是一个完整的周期函数，所以面积等于0，右边的正弦波函数图形仍然等于0
所以ω=0时，傅里叶变换F(ω)的值等于0
当ω=10.8，左边正弦波下的面积是-0.14，所以F(ω)=-0.14
当ω=22时，左边正弦波下的面积是-0.09，右边图形下的面积始终等于0，所以F(ω)=--0.09，
方波的傅里叶级数和信号中的吉布斯现象
我们现在来确定如下图波形的傅立叶级数。来获得它振幅和相位谱。下图是一个周期性的方波
我们的目标是得到傅里叶系数a0 an和bn，首先，我们将波形描述为
图中可知f (t) = f (t + t),因为t = 2,ω0 = = 2π∕t =π。因此,
首先我们确定a0的值等于
接着又可以确定an的值，这些都可以根据傅里叶级数原理公式得到，你会发现an=0
接着确定bn的系数等于
所以我们得到方波的傅里叶级数形式
将各项逐一相加，随着越来越多的分量相加，和就变成了越来越接近方波。
。
我们注意到部分和f(t)在不连续点的邻域上下振荡，(x = 0,1,2，…)时，存在振动和阻尼振荡。
在第一幕中，an无论用于近似f(t)的项的数量如何，总是会出现峰值约9%的超调。这叫做吉布斯现象。
最后，我们得到了信号的振幅和相位谱
来源：电子通信和数学领域
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