原创 模拟电路设计（十一）磁气学进阶篇

本文要探讨线圈(coil)与变压器(transformer)的电感(inductance)与磁束密度计算方法，同时介绍实际元件的动作原理与动作特性。由于线圈与变压器等元件广泛应用于由类比电路构成的量测电路、电源电路等领域，因此上述元件的使用技巧对电路性能具有非常重要的影响。

电感与磁束密度计算方法

?磁束与总磁束的计算式



图1是有关自我电感与相互电感的
定义，如式(1)所示电感的定义是磁束与电流呈比例定数关系，换句话说电感是电磁诱导造成的结果。磁诱导造成自我电感作用称为自我磁诱；造成相互电感作用
则称为相互磁诱；无法通过core内部漏洩至外部的磁束称为漏洩磁束фL。当漏洩磁束超过某种程度时，式(4)的近似度会降低，同时变成
ф>>ф12，而且相互电感M会变小，因此设计变压器时尽可能使用可以抑制漏洩磁束的结构。由式(4)可知，自我电感与线圈卷数的二次方呈比
例，例如卷数增加两倍电感就变成四倍。

图1 自我电感与相互电感的定义

(a).自我电感



假设卷线为N1，磁束ф 与i1呈比例，磁束ф可用下式表示:

(b).相互电感



i1造成磁束的N2产生错交成份ф12，可用下式表示:

?线圈卷绕方式决定变压器的电感特性



?相互电感取负值



如图2、图3所示，线圈卷绕方式会影响相互电感的正、负极性。图2(a)与图3(a)分别表示两种线圈卷绕方式，构成不同电感特性的变压器；图2(b)与
图3(b)是两变压器的电路符号；图2(c)与图3(c)则是自我电感L1，L2，与相互电感 整合后变压器的等价电路。

图2 相互电感变成负极性的卷绕方式

图3 相互电感变成正极性的卷绕方式

由图4可知即使线圈卷绕圈数相同，由于内部连接方式的不同，变压器产生的电感也不相同，假设结合系数k为1的话，则L1=L2=L≒M。由于内部连接会造
成电感相互抵销或是增强，不过电感增强时并不是单纯的增加一倍，而是变成四倍，它与L1或是L2的卷绕圈数增加一倍的效果相同，此时的电感值可利用图2与
图3的等价电路求得。

虽然电阻、容量与电感不会变成负极性，不过相互电感却有所谓的负极性。变压器的动作原理是利用相互诱导特性，所以当k=1，M=∞时就成为理想状态，若按照图1将N1与N2卷绕在core两侧时，漏洩磁束会变大成为k<1。

图4 内部连接方式与变压器的电感互动关系

由4可知虽然L1与L2呈磁气性连接，不过电气上却被绝缘，因此随着L1与L2的连接方式不同， 会具备正负符号，例如图中的「．」表示正方向。

表示L1与L2结合度的结合度系数 ，可利用下式求得:

此外必需注意的是使用磁性体的变压器 ≒1，因此又称为密结合变压器。



?如何计算分歧磁路的线圈电感



所谓磁气回路是指可将电压转换成起磁力、可将电流转换成磁束、可将阻抗转换成磁气阻抗的回路，由于磁气回路适用欧姆法则，因此可以轻易计算求得磁束。例如磁路使用分歧性core，也能够轻易计算磁束，即使线圈卷绕于设有空隙的core，也能够轻易完成上述要求。



制作线圈时通常会在core设置空隙，藉此降低实效透磁率。因为如果没有空隙的话，透磁率会随着磁界与磁束密度大幅变动，因此利用core内的空隙抑制上述变动，结果使得透磁率能够维持一定，自我电感也几乎变成一定。

图5 使用设有空隙的变压器磁气回路

图5(a)的电感L(H)可利用下式求得:

如何利用磁气回路计算设有空隙的core的电感



接着要利用磁气回路计算设有空隙的core的电感。假设磁路长度为l(m)，透磁率为μ，core断面积为Ae(m2)，图5的磁气阻抗Rm(1/H)的定义可用下式表示:

此处需注意的是磁气阻抗与与电气阻抗不同，因为磁气阻抗没有损失。



虽然式(18)假设空隙部份的磁束是在等价断面积Ae内，然而实际上空隙部份的磁束非常散乱，因此只有图5的公式能作近似性计算，设有空隙的场合则需作实际量测的确认动作。



?计算磁束密度的理由



具备磁性体core的线圈，它的磁束几乎都残留在core内，因此磁束密度的变化量ΔB(T)可利用图4的公式求得:

Ae:封闭曲面的面积(相当于磁性体的有效断面积(m2)。

N:线圈的卷绕圈数。

v:线圈的端子电压(V)。

随着线圈的端子电压v的波形差异，积分计算式也不同，因此接着要介绍一般正弦波与脉波冲的磁束密度计算式。



?正弦波的磁束密度计算式







?脉冲波的磁束密度计算式

磁束密度计算式的使用区分



如以上的说明磁束密度计算式非常烦琐，例如式(20)与式(21)、式(24)虽然都是等价，不过设计变压器通常是使用式(20)与式(21)，设计线圈(coil)时则使用式(24)，主要理由是基于透磁率为非线形性等考量。



?有关式(20)与式(21)



由图1的式(4)可知，虽然电感与透磁率呈一定比例关系，不过透磁率会随着磁束密度与磁界大幅变动，结果造成变压器的一次卷线电感，因磁束密度大幅变动无法决定激磁电流，最后导致式(24)无法顺利进行计算。



脉冲变压器的规格书中通常会记载电压与时间相乘后的VT积「 ххVμs」。根据式(21)可知，磁束密度是由变压器的构造(AeхN) 与电压
，以及脉冲宽度T(D/f)三者相乘的积决定。由于设计上无法改变变压器的构造，厂商为了让使用者能在最大磁束密度范围操作变压器，所以规格书中通常都是
标示VT积的最大值。

?有关式(24)



线圈的电感几乎是一定，即使清楚掌握滤波器(noise filter)、ripple
filter的电流值，不过实际上却经常发生使用者不知道端子电压的窘态，因为不知道端子电压的话，就无法顺利进行式(20)与式(21)的计算，这种情
况只能使用利用电感与电流计算的式(24)。



?有关式(25)



动作时最大磁束密度一定的线圈，想要变更卷绕圈数时可以使用式(25)。

能量的保存与损失



?能量储存于非磁性体内



磁界的能量(energy)密度可用下式表示:

由此可知磁束贯穿磁性体与非磁性体的场合(case)，储存于磁性体与非磁性体内的能量是与比透磁率成反比。假设磁性体的比透磁率为μr，如此一来储存的能量与磁性体呈1的比率，而与非磁性体则变成μr(>>1)的比率。

由于磁束为封闭回路(loop)，因此磁束贯穿磁性体与非磁性体的场合，磁性体内的磁界变成B/μ，非磁性体内的则变成B
/μ0。虽然磁性体与非磁性体内的磁束完全相同，不过磁性体内的磁界比非磁性体内的磁界小很多，大约是1:μr的比率，由此可知大部份的能量会被储存在非
磁性体内，例如core有空隙时，能量会被储存在非磁性体core内，而不是磁性体的core。

假设储存于电感L(H)内的能量为W(J)，流入电感的峰值电流为l(A)，则下式成立:

?线圈与变压器发生的损失



core会产生涡流损失与磁滞(hysteresis)损失，两者合併统称为铁损，导体损失则称为铜损，铜损主要是导体的直流阻抗与涡卷电流，造成表皮效
应与近接效应所致，尤其是设有空隙的core，由于空隙附近的磁束非常散乱，当涡卷电流贯穿导体流动时，无形中会使铜损上升。根据一般教科书的记载，当铜
损与铁损两者相同时就是所谓的最低损失，然而实际上受到各种配合因素的限制，并无法作如此的设计。



?线圈与变压器的最大容许损失并非取决于绝缘物的容许温度



损失造成的温升间接变成绝缘物的容许温度，该容许温会影响线圈与变压器处理的最大能量(energy)，然而线圈与变压器的容许电流却是由厂商决定，因此
使用者若未确认变压器的线圈温升变动特性，厂商提供的容许电流值就变得毫无意义。例如变压器利用自然空冷的容许电流，通常会被设计成「比强制空冷多
50%」就是典型的佐证。虽然线圈无法任意增加影响磁束密度的容许电流，不过只要改成强制空冷方式降低损失，事实上等于是间接提高容许电流值。

线圈的基本动作原理与动作特性



(a).动作原理



?对正弦波的反应



如图6(a)所示，若对线圈施加正弦波电流，端子电压会对电流前进900。



?对step信号的反应



如图6(b)所示，若对时间 的 电路施加直流电压，端子电压上升波形会与 电路的过渡现象相同，它的时定数t(s)可用下式表示:

由图6(a)与图6(b)可知，利用LR可以制作积分电路与微分电路。

图6 线圈对正弦波电流与step信号的反应

?品质要因



图7是线圈的等价电路



品质要因(quality factor)Q，可用D(=tanδ)的逆数，表示线圈的特性与品质，Q是线圈的符号，D是电容(condenser)的符号。



以使用频率角度而言，能够的话尽可能使Q越大越好，因为Q太小的话会导致卷线阻抗上升。

 图7 线圈的等价回路

 ?阻抗(impedance)的频率特性



如图8所示，实际上线圈的等价电路都会附加寄生容量，阻抗若超过共振频率fr时就会开始降低，最后造成线圈无法使用的窘境。图中的点线是电容器的阻抗特
性，阻抗特性若超过共振频率线圈就变成电容器，电容器则变成线圈，换言之使用者必需在电容器与线圈可操作的共振频率范围内使用。

z

图8 接近实际元件的线圈等价回路

 (b).线圈的特性



?电流-电感特性



图9是卷绕线圈的core电流对电感的特性，由图可知只要Ferrite与Amorphous的电流(亦即起磁力)不造成core饱和，基本上电感就能维
持一定；相较之下dust core的电感则持续下降，而且没有明确的饱和点，换言之dust
core比较适用于不要求精密电感，而且可在极短时间内流动极大电流(rush电流)的电源电路等领域。

　

图9 core的种类造成电流对电感的特性差异

图10是村田制作所的chip coil的特性摘要，该chip coil是由丝卷状Ferrite core所构成，由图10(a)所示chip coil的电感饱和之前几乎呈一定值。

　

(a)电流对电感的特性

?品质要因的频率特性



图10(b)是线圈品质要因(quality factor)Q 的频率特性，它相当于图8的特性。括号内的数据是线圈最低共振频，由图所示当品质要因(quality factor) 是最低共振频的1/3时会变成最大值。

　

(b)Q(quality factor)对频率的特性

?结合系数



图10(c)是线圈并排封装时的结合系数 ，由图可知线圈越邻近封装时磁束会错交，使得结合系数K变大，因此封装时必需注意线圈并排间隔。

图10 LQH31M系列线圈的各项特性

变压器的设计



线圈是储存能量的固态元件，变压器则是传送能量的元件(device)，根据法拉第法则一次端的供给电压的时间积分决定core的磁束密度。



接着要探讨有关变压器设计上的注意要点。



(a).变压器的等价电路



?理想模式等价电路



若考虑变压器的电气回路特性时，通常会使用图11(a)的理想变压器等价电路。

　

(a)变压器的等价回路

?教科书模式等价电路



如图11(b)所示，实际上变压器的等价电路会附加寄生阻抗(impedance)。主要寄生阻抗有三种，分别如下:



(一).激磁电感。



(二).漏洩电感。



(三).铜损与铁损。



图2(c)的M就是所谓激磁电感(inductance)；(L1-M)与(L2-M)则是漏洩电感。如上所述变压器的各参数(parameter)会随
着磁束密度与频率大幅变动，此外生容量并非集中性而是呈分佈容量性，因此教科书模式的等价电路，只能在特定电压与特定频率等条件下成立，亦即教科书模式的
等价电路，充其量只能算是近似性电路。

　

(b)教科书模式的变压器

?实用模式等价电路



图11(c)是常用的等价电路，事实上该电路已经适量附加阻抗成份，而且L11与L12会量测数个部位并加入适当值，直觉上或许读者会认为这样作非常草率不够严谨，然而实际上读者只要亲自体验几次，就可以发现本电路是实用上毫无问题的等价电路。

图11 变压器的等价回路

(b).变压器的动作特性



?二次端为直流电流时的动作特性



变压器只能传送交流电无法传送直流电，由于交流电是「一周期的平均变成0的信号」，因此施加于变压器一次端的电压若是交流电的话，电流也必需是交流电，这
种特性称为「交流条件」。不过某些情况会利用整流电路，使二次端只能流动直流电流。表1是具备这种整流电路的变压器动作特性，表中四个B-H
curve形状看起来非常类似，不过实际上第①项与第②项的B-H curve非常急峻(μ很大)，相较之下第③项与第④项的B-H
curve显得比较缓和(μ比较小)。



B-H curve内的阴影筐体部位就是所谓的「minor loop」，它表示变压器的实际动作范围。由第①项的B-H curve可知，利用双极性交流电压驱动一次端的场合，可以使用B-H curve的下侧。



如第②项～第④项所示，利用单极性电压驱动一次端的场合，就只能使用B-H curve的上侧。由于磁界与磁束都能在「minor loop」上面移动，并以一周期的频率折返原位，此时该值与起始前相同，反之如果未折返原位，而该值如果比起始前更大的话core就会饱和。



此处要提醒读者的是亲自描绘如表1所示的B-H curve，是充分掌握变压器回路动作特性的根本方法，如此一来实际设计作业时就能根据元件型录，与以往的设计实例中找出合适的最大磁束密度。

表1 使用可使电流流入一次端的变压器的电路型式与动作特性

?半波形整流电路的变压器动作特性



整流电流流入二次端的期间，一次端会产生与二次端相同的起磁力，该起磁力再与一次端输入电流造成的起磁力相互抵销，因此core几乎不会被激磁。整流电流
流动期间，流入一次端的电流是正的单极性，为满足上述的交流条件，因此负极性也需要有电流流动。如表1的第①项所示，负的激磁电流位相比电压延迟900。
虽然本电路可以应用在小容量电源，不过大激磁电流流动使得B与H相对变大，动作范围甚至会扩大至B-H
curve附加，换句话说该电路会浪费电流，同时还会产生很大的hysteresis损失。由于双波整流电路的激磁电流非常小，而传送电力又是变压器的主
要功能，因此设计上最好不要使用半波整流电路。



?Forward Converter变压器的动作特性



接着要探讨表1第②项列示的Forward
Converter变压器的动作特性。switch(SW)ON期间，二次端会有整流电流流动，在此同时一次端会产生与二次端相同的起磁力，接着再与一次
端输入电流造成的起磁力相互抵销，因此core几乎不会被激磁，不过一次端激磁电感非常有限，所以激磁电流微小流动激磁，并在「minor
loop」上面移动，使core无法饱和并在一周期后折返原位，所以使用时必需设置reset电路，藉此消除(cancel)core产生的磁束。



?Fly Back Converter变压器的动作特性



表1第③与④项的变压器电路的激磁电感很小，switch(SW)ON期间二次端会变成OFF，磁气能量完全被储放于core的空隙部位，switch(SW)一旦变成OFF时二次端会变成ON，磁气能量则通过整流电路释放至负载端。



一次端的输入电流与二次端的负载电流造成的起磁力会相互抵销，因此core几乎不会被激磁。必需注意的是这种型式的变压器与一般动作的变压器不同，它属于多卷线变压器。



?Single输出增幅电路变压器的动作特性



由于二次端无法流通直流电，只能在一次端流通，该直流电主要是用于设定电晶体(transistor)的偏压(bias)电流，因此设定时必需将该电流转
换成一次端的最大输出电流的1/2左右才可。本变压器与上述第③项的变压器不同，即使变压器本身欲发挥原有的功能，不过一次端流有直流电，为避免直流电造
成core饱和，因此不得不在core设置空隙。此外一次端转换的最大输出电压，大约是电源电压的2倍左右。

如何评鑑变压器，计算等价电路



?信号用变压器的评鑑



?激磁电感的量测



如图12(a)所示，利用LCR量测仪(meter)检测L1与L2时，可以发现L1、L2与频率呈反比降低，根据式(20)可知，造成这种现象的主要原因是磁束密度降低所造成。



图5(b)的μ开始下降点是类似ST-41A等信号用变压器的最大磁束密度设定点。



LCR量测仪施加于被测元件的检测电压很小时，除了会造成磁束密度增加之外电感也会根着变大。



?漏洩电感的量测



 如图12(b)所示，漏洩电感的量测使用的Q为1以上的检测值，不过此处LL1的Q不会大于1，因此使用Q=0.9
10kHz的检测值，主要原因是考虑LCR量测仪的量测原理，因为被测物线圈的Q值小于1的话，LCR量测仪显示的阻抗值非常正确，不过电感值却未必正
确，换句话说被测物的Q值必需越大越好，是利用LCR量测仪量测电感的先决条件。

 ?卷数比的量测



如图12(c)所示，卷数比的量测必需开放二次端，并将一次端的频率设成可变，接着在level不会变动的频率范围的中心进行量测，此处假设该频率为1kHz。



?直流阻抗的量测



如图12(d)所示，直流阻抗是利用digital multi
meter量测。由于阻抗值很低因此採用四端子量测法(Kelvin法)。铜线的温度系数大约是+0.36%/0C，实际上若能利用使用温度范围的上、下
限修正的话，检测结果会比较严谨，不过此处直接使用室温的检测值。

　

图12 ST-41A变压器的评鑑实验

?如何求得等价电路



图13是根据以上检测结果经过电脑模拟分析，再与实测特性作比对反覆调整参数(parameter)获得的实用性等价电路，此处要提醒读者的是根据磁性体的特性，以上的模拟分析模式是建立在level与频率一定的前提下。

图13 利用检测获得的参数制作ST-41A等价电路