原创 简单但是数学家都做错的三门问题,最容易理解的解法

2022-5-4 11:25 947 5 7 分类: 处理器与DSP

著名的反直觉问题——三门问题——曾经引起广泛的讨论。这个问题看起来非常简单,小学生都能解答,但是实际上绝大多数的人都回答错误。名人玛莉莲·莎凡给出正确答案之后,收到1万封反对意见的信件,其中有一千个人是来自数学或科学研究机构,发信人有博士头衔,他们都认为玛莉莲·莎凡的答案是错的。

问题如下:

有这么一个游戏。这个游戏的玩法是:参赛者会看见三扇关闭了的门,其中一扇的后面有一辆汽车,选中后面有车的那扇门就可以赢得该汽车,而另外两扇门后面则各藏有一只羊。当参赛者选定了一扇门,但未去开启它的时候,节目主持人会开启剩下两扇门的其中一扇,露出其中一只羊。主持人其后会问参赛者要不要换另一扇仍然关上的门。问题是:换另一扇门会否增加参赛者赢得汽车的机会率?

如果你之前没看过这个题目,请你先好好思考一下,先别看答案,我先告诉你这个是反直觉的,看你能否得出正确的答案,如果你能答出正确的答案,即使是受到了我的提示而得出的,你的智商也是超过绝大部分人,因为绝大部分人即使有人给出了正确答案,还是不相信答案,就像玛莉莲·莎凡遭遇的那样。当然,玛莉莲·莎凡给答案时给出的解释确实是无法消除大家的怀疑的。这个公案最后是通过大量的实验证明了玛莉莲·莎凡的答案是正确的。

玛莉莲•莎凡的答案:

你应该换门。原来的门只有1/3的机会赢车,而换门有2/3的机会。

除了靠实验证实答案。后面有其他人给了各种解法。但是我觉得都不直观或者难以理解。我开始也是想靠实验来验证答案,不过后来我想肯定有推理的办法而且是让人很容易理解或者直观的办法来验证答案。

我想到的解答办法有2个。

一、简单逻辑推理法:

参赛者选定1个门之后,这个门有车的概率是1/3,其余2个门的有车的概率总共是2/3。假设主持人不帮忙开启其中一个门,那么另外的2个门中任何1个门的概率也是1/3。不管主持人开门还是不开门,这两个门有车的总概率还是2/3的,当主持人帮忙开了1个门露出羊,露出羊的那个门后有车的概率就是0了,所以剩下那个门有车的概率变成了2/3-0=2/3

我觉得我这个解释是比较容易说服人的吧?如果还是不能说服人。那么我还提供另外一个解法。

二、图表穷举分析法

为了描述方便,我把门和羊都编上号,分别为门A、门B、门C和羊甲、羊乙。车和羊放在门后面有这些组合:

/

A

B

C

组合1

羊甲

羊乙

组合2

羊乙

羊甲

组合3

羊甲

羊乙

组合4

羊甲

羊乙

组合5

羊乙

羊甲

组合6

羊乙

羊甲

 

假设参赛者开始选择的门是门A(当然选的如果是其他门,分析方法和结果是一样的),然后主持人需要在门B和门C中选择有羊的门来开启,然后参赛者选择换门,那么会出现以下组合结果:

/

/

A

B

C

得到物品

是否得车

组合1

/

羊甲

羊乙

/

/

操作1

/

开门

选中

羊乙

不得车

操作2

/

选中

开门

羊甲

不得车

组合2

/

羊乙

羊甲

/

/

操作1

/

开门

选中

羊甲

不得车

操作2

/

选中

开门

羊乙

不得车

组合3

/

羊甲

羊乙

/

/

操作

/

开门

选中

得车

组合4

/

羊甲

羊乙

/

/

操作

/

选中

开门

得车

组合5

/

羊乙

羊甲

/

/

操作

/

开门

选中

得车

组合6

/

羊乙

羊甲

/

/

操作

/

开门

选中

得车

 

解释一下。

假设是组合1,那么可能出现操作1:主持人开门B,参赛者改选门选中门C,得到羊乙,得不到车;也可能出现操作2:主持人开门C,参赛者改选门选中门B,得到羊甲,得不到车。也就是不管主持人如何开门,组合1的情况参赛者改选门后是得不到车的。

假设是组合2,其结果跟组合1是类似的。

假设是组合3,那么只能出现一种操作,主持人只能开门B,参赛者改选门选中门C,得到车。

组合4、组合5、组合6的结果跟组合3是类似的。

汇总一下:

/

是否得车

组合1

不得车

组合2

不得车

组合3

得车

组合4

得车

组合5

得车

组合6

得车

也就是按照换门策略,有2种情况得不到车,有4种情况能得到车,得不到车的概率是1/3,得到车的概率是2/3,换门策略是对的。

作者: 爱因迪生, 来源:面包板社区

链接: https://mbb.eet-china.com/blog/uid-me-1205846.html

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文章评论3条评论)

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爱因迪生 2022-5-12 19:18

乖乖兔爸爸: 我提供另外一个如果还不能理解就没再也没有办法的思路:
假设有1百万扇门,1扇后面是车,其余后面是羊;
你随便选一扇门,概率是百万分之一;
然后主持人把剩余9 ...
你这种说法还真不能说服人。因为玛莉莲•莎凡解释她的答案时用的就是这种说法,结果大家不卖帐。最后是靠做实验来证实她的答案的。

乖乖兔爸爸 2022-5-5 08:32

我提供另外一个如果还不能理解就没再也没有办法的思路:
假设有1百万扇门,1扇后面是车,其余后面是羊;
你随便选一扇门,概率是百万分之一;
然后主持人把剩余9百9十9万9千9百9十8扇门都打开,后面全都是羊;
面对漫天遍野的打开的门,以及剩余的两扇门,问你换不换??

你要是还不换,
我就敬你是条汉子!!

yzw92 2022-5-5 06:23

感谢楼主的分享
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