原创 （狂补数学篇1）正交矩阵的性质

关于内积：

设是欧几里得空间V的线性变换，如果保持内积，也就是说，对任意的，，有

，

则称是正交变换，而正交变换关于规范正交积的矩阵称为正交矩阵。

设是一个n阶实数方阵，A是正交矩阵,那么有以下几条等价命题：

（1）       ；

（2）       ；

（3）       A的每个列的元素的平方和等于1，不同列的对应元素乘积之和等于0。即

（4）A的每个行的元素的平方和等于1，不同行的对应元素乘积之和等于0。即

其中为A的逆矩阵，为A的转置矩阵

证明见<高等代数与解析几何(上)>高等教育出版社  施普林格出版社356页

小结论：规范正交基到规范正交基的过渡矩阵是正交矩阵

        
证明：设，是V上的两组规范正交基

是矩阵T的列向量

                
即T是正交矩阵

正交矩阵的一些特征

（1）特征值   

设特征值对应的特征向量为

则，

则在实数域中

（2）行列式

由（2）可知即可得到

（3）可逆性

对于正交矩阵来说，它是可逆的。

（4）实对称正交矩阵的正定性

    对于单位矩阵E，它是正定的，对于-E，它是负定的，所以是不定的。

（5）迹

由条件（3）得

（6）对角化

正交矩阵属于正规矩阵（见附录1），则在实数域上正交矩阵可准对角化，但不一定可对角化。

若其特征值只是，则在A实数域上可对角化，若其还有其他复数的特征值，则A不可对角化。

正交矩阵与运算的关系

若矩阵A，B均为正交矩阵，则仍是正交矩阵，而正交矩阵的和A+B，A-B，A的数乘kA()不一定正交。（为A的伴随矩阵）

证明： A，B正交，由（2）知，，

则，

，

而

则若kA正交，需要,即时，kA正交。结论得证

正交矩阵与特殊矩阵的关系

（1）三角矩阵

①若三角矩阵A是正交矩阵，

 且即A是对角矩阵，形如

②若A是一个n阶实矩阵，且，则

ⅰ）A可分解为A=TQ其中T是正交矩阵，Q是上三角矩阵；

ⅱ）A可分解为A=TQ其中T是正交矩阵，Q是下三角矩阵；

ⅲ）A可分解为A=QT其中T是正交矩阵，Q是上三角矩阵；

ⅳ）A可分解为A=QT其中T是正交矩阵，Q是下三角矩阵。

证明：ⅰ）设A=（）是线性无关列向量，对其施行规范正交化，得

         
且  

则有()=()R  R=是上三角矩阵

因为是规范正交基,

故 
        

由(3)知T=（）为正交矩阵

R是上三角矩阵  也是上三角矩阵    令  

则A=TQ   其中T是正交矩阵，Q是上三角矩阵。

ⅱ) A实可逆   也是实可逆矩阵  

          
B=TR   T是正交矩阵，R是上三角矩阵

则

令，是上三角矩阵，则是下三角矩阵，

即Q是下三角矩阵 
T是正交矩阵 A=TQ

ⅲ) 令  则B=SR    S是正交矩阵，R是上三角矩阵

          
  可知是正交矩阵，是上三角矩阵

         
令，可得A=QT 其中T是正交矩阵，Q是上三角矩阵

同理可得ⅳ

③若A为特征值全是实数的n阶实矩阵，则存在正交矩阵T，使为三角形矩阵.

证明: A为特征值全是实数的n阶实矩阵

存在可逆矩阵B,使为上三角矩阵(见附录2)

设  则    S为上三角矩阵 

由前一题已证: 可逆矩阵 B可分解为B=QP其中Q是正交矩阵，P是上三角矩阵

则  则是上三角矩阵

令T=Q  则可得结论,存在正交矩阵T，使为三角形矩阵

（2）对角矩阵  

①对于任意的实对称矩阵，一定存在正交矩阵，使得是一个对角矩阵，而且还可以使得，即

 
证明见<高等代数与解析几何(下)>高等教育出版社  施普林格出版社110页

② 特征值全是实数的正交矩阵必是对称矩阵

   证明: 若矩阵A特征值全是实数,前面已证,存在正交矩阵T，

使, B为三角形矩阵.

         
A,T均是正交矩阵,则可知,   B为正交矩阵

         
B既为三角形矩阵,又为正交矩阵,则有结论B是对角矩阵

         
于是 是对称矩阵

（3）反衬矩阵

若A是实反衬矩阵，则是一个正交矩阵

证明：

      由于A是实反衬矩阵，所以-1不是A的特征值（见附录3）

         
于是   即  因此E+A 可逆

   （）

          
所以B是正交矩阵

整系数域上的正交矩阵

若矩阵为整系数域上的正交矩阵，有条件（3）知

 
中有且仅有一个项非0，则非零项   即

 
同理，每列也有且仅有一个项非0，这样，

 
矩阵A每行每列有且仅有一个非零元，且非零元为1或-1，

 
不难验证这样的矩阵都是正交矩阵。

 
有理数域更为复杂，暂不讨论。

附录：

（1）矩阵A满足   ，则A为正规矩阵

A为正交矩阵，则A为正规矩阵，有以下推论：

存在实正交矩阵，使得

     ，