原创 信号初步处理

    在测试技术中，调制是工程测试信号在传输过程中常用的一种调理方法，主要是为了解决微弱缓变信号的放大以及信号的传输问题。例如，被测物理量，如温度、位移、力等参数，经过传感器交换以后，多为低频缓变的微弱信号，对这样一类信号，直接送入直流放大器或交流放大器放大会遇到困难，因为，采用级间直接耦合式的直流放大器放大，将会受到零点漂移的影响。当漂移信号大小接近或超过被测信号时，经过逐级放大后，被测信号会被零点漂移淹没；为了很好地解决缓变信号的放大问题，信息技术中采用了一种对信号进行调制的方法，即先将微弱的缓变信号加载到高频交流信号中去，然后利用交流放大器进行放大，最后再从放大器的输出信号中取出放大了的缓变信号（如下图所示）。上述信号传输中的变换过程称为调制与解调。在信号分析中，信号的截断、窗函数加权等，亦是一种振幅凋制；对于混响信号，所谓由于回声效应引起的信号的叠加、乘积、卷积等，其中乘积即为调幅现象．
　　

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    信号调制的类型，一般正（余）弦凋制可分为幅度凋制、频率调制、相位调制三种，简称为调幅（AM）、调频（FM）、调相（PM）。
　
　

一、调制与解调原理

    调幅是将一个高频正弦信号（或称仅波）与测试信号相乘，使载波信号幅值随测试信号的变化而变化．现以频率为fz的余弦信号Z(t)作为载波进行讨论．
　
    由傅里叶变换的性质知，在时域中两个信号相乘，则对应在频域中这两个信号进行卷积，即

余弦函数的频域图形是一对脉冲谐线，即

    一个函数与单位脉冲函数卷积的结果，就是将其图形由坐标原点平移至该脉冲函数处．所以，若以高频余弦信号作载波，把信号x(t)和载波信号z(t)相乘，其结果

就相当于把原信号频谱图形由原点平移至载波频率人处，其幅值减半，如图所示，所以调幅过程就相当于频率“搬移”过程．

　
    若把调幅波x_m(t)再次与载波z(t)信号相乘，则频域图形将再一次进行“搬移”，即x_m(t)与z(t)相乘积的傅里叶交换为：

    这一结果如图所示．若用一个低通滤波器滤除中心频率为2f_z的高频成分，那末将可以复现原信号的频谱（只是其幅值减少了一半，这可用放大处理来补偿），这一过程称为同步解调．“同步”指解调时所乘的信号与调制时的载波信号具有相同的频率和相位．

　
    上述的调制方法，是将调制信号x(t)直接与载波信号z(t)相乘．这种调幅波具有极性变化，即在信号过零线时，其幅值发生由正到负（或山负到正）的突然变化，此时调幅波的相位（相对于载波）也相应地发生180^。的相位变化．此种调制方法称为抑制调幅．抑制调幅波须采用同步解调或相敏检波解调的方法，方能反映出原信号的幅值和极性．

    若把调制信号z(t)进行偏置，叠加一个直流分量A，使偏置后的信号都具有正电压，此时调幅波表达式为：

x_m(t)=[A+x(t)]cos2πf_zt

    这种调制方法称为非抑制调幅，或偏置调幅．其调幅波的包络线具有原信号形状，如图(a)所示．对于非抑制调幅波，一般采用整流、滤波（或称包络法检波）以后，就可以恢复原信号．

　
　
二、调幅波的波形失真
　
    信号经过调制以后，有下列情况可能出现波形失真现象．
    （l）过调失真：对于非抑制调幅，要求其直流偏置必须足够大，否则x(t)的相位将发生180^。倒相，如上图（b）所示，此称为过调．此时，如果采用包络法检波，则检出的信号就会产生失真，而不能恢复出原信号．
　
    （2）重叠失真：调幅波是由一对每边为f_m的双边带信号组成．当载波频率f_z较低时，正频端的下边带将与负频端的下边带相重叠，这类似于采样频率较低时所发生的频率混叠效应．因此，要求载波频率f_z必须大
于调制信号x(t)中的最高频率，即f_z＞f_m．实际应用中，往往选择载波频率至少数倍甚至数十倍于信号中的最高频率．

    (3)调幅波通过系统时的失真：调幅波通过系统时，还将受到系统频率特性的影响。

    调频是利用信号x（t）的幅值调制载波的频率，或者说，调频波是一种随信号x(t)的电压幅值而变化的疏密度不同的等幅波，如图所示．

调频波：(a)锯齿波调频　(b)正弦波调频

　　
　　调频波的瞬时频率可表示为：
　

f=f0+df
　

式中f0为载波信号频率；df为频率偏移，与调制信号x(t)的幅值成正比。
　
　　常用的频率调制法有直接调频法和间接调频法。直接调频法就是用调制信号x(t)对压控振荡器(VCO)进行电压控制，利用其振荡频率与控制电压成线性变化的特性，改变压控振荡器的输出频率，从而达到频率调制的目的。
　
　　鉴频就是对调频波进行解调，将信号的频率变化再变换为电压幅值的变化。鉴频的方法也有许多，常用的有变压器耦合的谐振回路法。如图所示。图中L₁,L₂是变压器耦合的原、副线圈，它们和C₁,C₂组成并联谐振回路。e_f为输入的调频信号，在回路的谐振频率f_n处，线圈L₁,L₂的耦合电流最大，副边输出电压e_a也最大；e_f频率离f_n越远，线圈L₁,L₂的耦合电流越小，副边输出电压e_a也越小；从而将调频波信号频率的变化转化为电压幅值的变化。
　

　
    频率调制较之幅度调制的一个重要的优点是改善了信噪比．分析表明，在调幅情况下，若干扰噪声与
载波同频，则有效的调幅波对干扰波的功率比（S／N），必须在 35dB以上．但在调频的情况下，在满足上
述调幅情况下的相同性能指标时，有效的调频波对干扰波的功率比只要 6dB即可．调频波之所以改善了信号传输过程中的信噪比，是因为调频信号所携带的信息包含在频率变化之中，并非振幅之中，而干扰波的干扰作用则主要表现在振幅之中．这种由干扰引起的幅度变化，往往可以通过限幅器而有效地消除掉．

    调频方法也存在着严重缺点：调频波通常要求很宽的频带，甚至为调幅所要求带宽的20倍；调频系统较之调幅系统复杂，因为频率调制足一种非线性调制，它不能运用叠加原理．因此，分析调频波要比分析调幅波困难，实际上，对调频波的分析是近似的．
　　

　
一、数字信号处理的主要研究内容
　　数字信号处理主要研究用数字序列或符号序列表示信号，并用数字计算方法对这些序列进行处理，以便把信号变换成符合某种需要的形式。数字信号处理的主要内容包括频谱分析与数字滤波及信号的识别等。
　
　　数字信号处理中常用的运算有：差分方程计算、相关系数计算、离散傅里叶变换计算、功率谱密度计算、矩阵运算、对数和指数运算、复频率变换及模数和数值转换等。很多数字信号处理问题，都可以用这些或加上其它的基本运算，经过适当的组合来实现。
　
二、测试信号数字化处理的基本步骤
　　随着微电子技术和信号处理技术的发展，在工程测试中，数字信号处理方法得到广泛的应用，已成为测试系统中的重要部分。从传感器获取的测试信号中大多数为模拟信号，进行数字信号处理之前，一般先要对信号作预处理和数字化处理。而数字式传感器则可直接通过接口与计算机联接，将数字信号送给计算机（或数字信号处理器）进行处理。测试中的数字信号处理系统如图所示。

　
    1．预处理预处理是指在数字处理之前，对信号用模拟方法进行的处理。把信号变成适于数字处理的形式，以减小数字处理的困难。如对输人信号的幅值进行处理，使信号幅值与A／D转换器的动态范围相适应；衰减信号中不感兴趣的高频成分，减小频混的影响；隔离被分析信号中的直流分量，消除趋势项及直流分量的干扰等项处理。
　
    2．A／D转换是将预处理以后的模拟信号变为数字信号，存人到指定的地方。其核心是A/V转换器。信号处理系统的性能指标与其有密切关系。
　
    3．分析计算对采集到的数字信号进行分析和计算，可用数字运算器件组成信号处理器完成，也可用通用计算机。目前分析计算速度很快，已近乎达到“实时”。
　
    4．结果显示一般采用数据和图形显示结果。
　
三、数字信号处理的优势
1、可以用数学计算和计算机显示代替代替复杂的电路和机械结构

。

。。
2、计算机软硬件技术发展的推动
a)多种多样的工业用计算机

。。
b)尺寸小巧，功能强大的嵌入式计算机
　

　
c)灵活、方便的计算机虚拟仪器开发软件
　

一、A/D转换
1.A/D转换过程
    把连续时间信号转换为与其相对应的数字信号的过程称之为模—数（A／D）转换过程，反之则称为数—模（D／A）转换过程，它们是数字信号处理的必要程序．一般在进行A/D转换之前，需要将模拟信号经抗频混滤波器预处理，变成带限信号，再经A／D转换成为数字信号，最后送入数字信号分析仪或数字计算机完成信号处理．如果需要，再由D／A转换器将数字信号转换成模拟信号，去驱动计算机外围执行元件或模拟式显示、记录仪等．
　
    A／D转换包括了采样、量化、编码等过程，其工作原理如图所示．
　

    （1）采样——或称为抽样，是利用采样脉冲序列p(t)，从连续时间信号x(t)中抽取一系列离散样值，使之成为采样信号x（nT_s）的过程．n= 0，1…．T_st称为采样间隔，或采样周期，1／T_s = f_s称为采样频率．

    由于后续的量化过程需要一定的时间τ，对于随时间变化的模拟输入信号，要求瞬时采样值在时间τ内保持不变，这样才能保证转换的正确性和转换精度，这个过程就是采样保持。正是有了采样保持，实际上采样后的信号是阶梯形的连续函数。

    （2）量化——又称幅值量化，把采样信号x（nT_s）经过舍入或截尾的方法变为只有有限个有效数字的数，这一过程称为量化．
　

信号的6等份量化过程
　

    若取信号x（t）可能出现的最大值A，令其分为D个间隔，则每个间隔长度为R=A／D，R称为量化增量或量化步长．当采样信号x（nT_s）落在某一小间隔内，经过舍入或截尾方法而变为有限值时，则产生量化误差，如上图所示．
　　一般又把量化误差看成是模拟信号作数字处理时的可加噪声，故而又称之为舍入噪声或截尾噪声．量化增量D愈大，则量化误差愈大，量化增量大小，一般取决于计算机A/D卡的位数．例如，8位二进制为2⁸=256，即量化电平R为所测信号最大电压幅值的1／256．
　　
（3）编码——将离散幅值经过量化以后变为二进制数字的过程。

　　信号x(t)经过上述变换以后，即变成了时间上离散、幅值上量化的数字信号．
　　
2、AD转换器的技术指标
1．分辨力
    A／D转换器的分辨力用其输出二进制数码的位数来表示。位数越多，则量化增量越小，量化误差越小，分辨力也就越高。常用的有8位、10位、12位、16位、24位、32位等。
　　例如，某 A／D转换器输入模拟电压的变化范围为-10V～+10V，转换器为 8位，若第一位用来表示正、负符号，其余 7位表示信号幅值，则最末一位数字可代表80mV模拟电压（10V×1／2⁷≈80mV），即转换器可以分辨的最小模拟电压为80mV。而同样情况用一个 10位转换器能分辨的最小模拟电压为20mV（10V×1／2⁹≈80mV）。
　
2．转换精度
    具有某种分辨力的转换器在量化过程中由于采用了四舍五入的方法，因此最大量化误差应为分辨力数值的一半。如上例8位转换器最大量化误差应为40mV（80mV×O．5 = 40mV），全量程的相对误差则为0．4％（40mV／10V×100％）。可见，A／D转换器数字转换的精度由最大量化误差决定。实际上，许多转换器末位数字并不可靠，实际精度还要低一些。
    由于含有A／D转换器的模数转换模块通常包括有模拟处理和数字转换两部分，因此整个转换器的精度还应考虑模拟处理部分（如积分器、比较器等）的误差。一般转换器的模拟处理误差与数字转换误差应尽量处在同一数量级，总误差则是这些误差的累加和。例如，一个10位A／D转换器用其中 9位计数时的最大相对量化误差为2⁹×0. 5≈ 0. l％，若模拟部分精度也能达到 0． l％，则转换器总精度可接近0．2％。
　
3．转换速度
    转换速度是指完成一次转换所用的时间，即从发出转换控制信号开始，直到输出端得到稳定的数字输出为止所用的时间。转换时间越长，转换速度就越低。转换速度与转换原理有关，如逐位逼近式A／D转换器的转换速度要比双积分式A／D转换器高许多。除此以外，转换速度还与转换器的位数有关，一般位数少的（转换精度差）转换器转换速度高。目前常用A／D转换器转换位数有8、10、12、14、16位，其转换速度依转换原理和转换位数不同，一般在几微秒至几百毫秒之间。
    由干转换器必须在采样间隔T_s内完成一次转换工作，因此转换器能处理的最高信号频率就受到转换速度的限制。如50us内完成10位A／D转换的高速转换器，这样，其采样频率可高达20KHZ。
　
　
二、D/A转换过程和原理
1.D/A转换过程
　　D/A转换器是把数字信号转换为电压或电流信号的装置。其过程如下图所示：
　

       　
　　D/A转换器一般先通过T型电阻网络将数字信号转换为模拟电脉冲信号，然后通过零阶保持电路将其转换为阶梯壮的连续电信号。只要采样间隔足够密，就可以精确的复现原信号。为减小零阶保持电路带来的电噪声，还可以在其后接一个低通滤波器。
。
2. D/A转换器的主要技术指标
1．分辨力
   D／A转换器的分辨力用可用输入的二进制数码的位数来表示。位数越多，则分辨力也就越高。常用的有8位、10位、12位、16位、24位、32位等。12D/A转换器的分辨力为1/2¹²=0.024%.
　　
2．转换精度
   转换精度定义为实际输出与期望输出之比。以全程的百分比或最大输出电压的百分比表示。理论上D/A转换器的最大误差为最低位的1/2，10位D/A转换器的分辨力为1/1024，约为0.1%，它的精度为0.05%。如果10位D/A转换器的满程输出为10V，则它的最大输出误差为10V*0.0005=5mV。
　　
3．转换速度
    转换速度是指完成一次D/A转换所用的时间.转换时间越长，转换速度就越低。

　
一、采样信号的频谱

    采样过程是通过采样脉冲序列p(t)与连续时间信号x(t)相乘来完成的．理想脉冲采样过程如图所示：

其采样脉冲序列：

　
采样信号：

x_s(t)=x(t)p(t)

如果：

 F[x(t)]=X(ω)  F[p(t)]=P(ω)

那么，根据频域卷积定理，有：

X_s(ω)=X(ω)*P(ω)/2π

　
可以证明，采样脉冲序列 p(t) 的频谱是间隔为ω_s的周期延拓，所以，可以进一步证明：

　
    此式表明，一个连续信号经过理想采样以后，它的频谱将沿着频率轴每隔一个采样频率ω_s ,重复出现一次，即其频谱产生了周期延拓，其幅值被采样脉冲序列的傅立叶系数（Cn=1/Ts)所加权，其频谱形状不变。
　
二、采样定理
　　采样定理说明了一个问题，即当对时域模拟信号采样时，应以多大的采样周期（或称采样时间间隔）采样，方不致丢失原始信号的信息，或者说，可由采样信号无失真地恢复出原始信号。
　
1.频混现象
　　频混现象又称频谱混叠效应，它是由于采样信号频谱发生变化，而出现高、低频成分发生混淆的一种现象，如右图所示．信号x(t)的傅里叶变换为X(ω)，其频带范围为-ω_m~ω_m；采样信号x(t)的傅里叶变换是一个周期谱图，其周期为ω_s，并且：

ω_s=2π／T_s

T_s为时域采样周期．当采样周期T_s较小时，ω_s＞2ω_m，周期谱图相互分离如图中（b）所示；当T_s较大时，ω_s＜2ω_m，周期谱图相互重叠，即谱图之间高频与低频部分发生重叠，如图中(c)所示，此即频混现象，这将使信号复原时丢失原始信号中的高频信息。

　
　　下面从时域信号波形来看这种情况。图(a)是频率正确的情况，以及其复原信号；(b)是采样频率过低的情况，复原的是一个虚假的低频信号。
　

       　
　　当采样信号的频率低于被采样信号的最高频率时，采样所得的信号中混入了虚假的低频分量，这种现象叫做频率混叠。
　　
2.采样定理
    上述情况表明，如果ω_s＞2ω_m，就不发生频混现象，因此对采样脉冲序列的间隔T_s须加以限制，即采样频率ω_s（2π／T_s）或 f_s(1／T_s）必须大于或等于信号x(t)中的最高频率ω_m的两倍，即ω_s＞2ω_m，或 f_s＞2f_m。
　　
　　为了保证采样后的信号能真实地保留原始模拟信号的信息，采样信号的频率必须至少为原信号中最高频率成分的2倍。这是采样的基本法则，称为采样定理。
　
　　需要注意的是，在对信号进行采样时，满足了采样定理，只能保证不发生频率混叠，只能保证对信号的频谱作逆傅立叶变换时，可以完全变换为原时域采样信号x_s(t)，而不能保证此时的采样信号能真实地反映原信号x(t)。工程实际中采样频率通常大于信号中最高频率成分的3到5倍。

     　
一、信号的截断及能量泄漏效应
　　数字信号处理的主要数学工具是博里叶变换．应注意到，傅里叶变换是研究整个时间域和频率域的关系．然而，当运用计算机实现工程测试信号处理时，不可能对无限长的信号进行测量和运算，而是取其有限的时间片段进行分析。做法是从信号中截取一个时间片段，然后用观察的信号时间片段进行周期延拓处理，得到虚拟的无限长的信号，然后就可以对信号进行傅里叶变换、相关分析等数学处理。
　

     　
　　周期延拓后的信号与真实信号是不同的，下面我们就从数学的角度来看这种处理带来的误差情况。设有余弦信号x（t）在时域分布为无限长（- ∞，∞），当用矩形窗函数w(t)与其相乘时，得到截断信号x_T(t) =x(t)w(t)。根据博里叶变换关系，余弦信号的频谱X（ω）是位于ω。处的δ函数，而矩形窗函数w(t)的谱为sinc(ω)函数，按照频域卷积定理，则截断信号x_T(t) 的谱X_T(ω) 应为：

     　　将截断信号的谱 X_T(ω)与原始信号的谱X（ω）相比较可知，它已不是原来的两条谱线，而是两段振荡的连续谱．这表明原来的信号被截断以后，其频谱发生了畸变，原来集中在f₀处的能量被分散到两个较宽的频带中去了，这种现象称之为频谱能量泄漏（Leakage）。
　　
　　信号截断以后产生的能量泄漏现象是必然的，因为窗函数w(t)是一个频带无限的函数，所以即使原信号x(t)是限带宽信号，而在截断以后也必然成为无限带宽的函数，即信号在频域的能量与分布被扩展了．又从采样定理可知，无论采样频率多高，只要信号一经截断，就不可避免地引起混叠，因此信号截断必然导致一些误差，这是信号分析中不容忽视的问题．
　
　　如果增大截断长度T，即矩形窗口加宽，则窗谱 W（ω）将被压缩变窄（π／T减小）．虽然理论上讲，其频谱范围仍为无限宽，但实际上中心频率以外的频率分量衰减较快，因而泄漏误差将减小．当窗口宽度T趋于无穷大时，则谱窗W（ω）将变为δ（ω）函数，而δ（ω）与X（ω）的卷积仍为X（ω），这说明，如果窗口无限宽，即不截断，就不存在泄漏误差．
　　

     　
　　为了减少频谱能量泄漏，可采用不同的截取函数对信号进行截断，截断函数称为窗函数，简称为窗。泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关，如果两侧瓣的高度趋于零，而使能量相对集中在主瓣，就可以较为接近于真实的频谱，为此，在时间域中可采用不同的窗函数来截断信号。
　
　
二、常用窗函数
　
实际应用的窗函数，可分为以下主要类型：
　
　　（1）幂窗——采用时间变量某种幂次的函数，如矩形、三角形、梯形或其它时间（t）的高次幂；
　
　　（2）三角函数窗——应用三角函数，即正弦或余弦函数等组合成复合函数，例如汉宁窗、海明窗等；
　　
　　（3）指数窗——采用指数时间函数，如e^-st形式，例如高斯窗等．

     下面介绍几种常用窗函数的性质和特点．
　
（l）矩形窗
　　矩形窗属于时间变量的零次幂窗，函数形式为

     相应的窗谱为：

     　　矩形窗使用最多，习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗．这种窗的优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣（下图），导致变换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象．
　

     　
　　
（2）三角窗
三角窗亦称费杰（Fejer）窗，是幂窗的一次方形式，其定义为：

     相应的窗谱为：

     三角窗与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣，如图所示．
　

     （3）汉宁（Hanning）窗
　　汉宁窗又称升余弦窗，其时域表达式为：

     相应的窗谱为：

     由此式可以看出，汉宁窗可以看作是3个矩形时间窗的频谱之和，或者说是 3个 sine（t）型函数之和，而括号中的两项相对于第一个谱窗向左、右各移动了 π／T，从而使旁瓣互相抵消，消去高频干扰和漏能。
　　
　　下图表示汉宁窗与矩形窗的谱图对比，可以看出，汉宁窗主瓣加宽（第一个零点在2π／T处）并降低，旁瓣则显著减小．第一个旁瓣衰减一32dB，而矩形窗第一个旁瓣衰减一13dB．此外，汉宁窗的旁瓣衰减速度也较快，约为60dB／（10oct），而矩形窗为20dB／（10oct）。由以上比较可知，从减小泄漏观点出发，汉宁窗优于矩形窗．但汉宁窗主瓣加宽，相当于分析带宽加宽，频率分辨力下降．
　

     　
（4）海明（Hamming）窗
    海明窗也是余弦窗的一种，又称改进的升余弦窗，其时间函数表达式为：

     其窗谱为：

     　
　　海明窗与汉宁窗都是余弦窗，只是加权系数不同。海明窗加权的系数能使旁瓣达到更小。分析表明，海明窗的第一旁瓣衰减为一42dB．海明窗的频谱也是由3个矩形时窗的频谱合成，但其旁瓣衰减速度为20dB／（10oct），这比汉宁窗衰减速度慢。海明窗与汉宁窗都是很有用的窗函数．
　
（5）高斯窗
    高斯窗是一种指数窗．其时域函数为：

     式中a为常数，决定了函数曲线衰减的快慢。a值如果选取适当，可以使截断点（T为有限值）处的函数值比较小，则截断造成的影响就比较小。高斯窗谱无负的旁瓣，第一旁瓣衰减达一55dB。高斯富谱的主瓣较宽，故而频率分辨力低．高斯窗函数常被用来截断一些非周期信号，如指数衰减信号等．
　
    除了以上几种常用窗函数以外，尚有多种窗函数，如平顶窗、帕仁（Parzen）窗、布拉克曼（Blackman）窗、凯塞（kaiser）窗等．
　
    对于窗函数的选择，应考虑被分析信号的性质与处理要求．如果仅要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选用主瓣宽度比较窄而便于分辨的矩形窗，例如测量物体的自振频率等；如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三角窗等；对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗来提高信噪比．

     一、离散傅立叶变换
　　离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform）一词是为适应计算机作傅里叶变换运算而引出的一个
专用名词，这是因为，对信号X（L）进行博里叶变换（FT）或逆傅里叶变换（IFT）运算时，无论在时域或在
频域都需要进行包括（-∞，＋∞）区间的积分运算，若在计算机上实现这一运算，则必须做到：（l）把连
续信号（包括时域、频域）改造为离散数据；（2）把计算范围收缩到一个有限区间；（3）实现正、逆博里
叶变换运算．在这种条件下所构成的变换对称为离散傅里叶变换对．其特点是，在时域和频域中都只取有限
个离散数据，这些数据分别构成周期性的离散时间函数和频率函数．
　
　　连续时间信号x(t)经过加窗截断后在区间[0,T]上经过A/D转换离散化，采样间隔Δt按采样频率确定为：
　

     Δt=1/f_s

     在时间点｛0,Δt,2Δt,3Δt,....｝进行取样，得到长度为N（N=T/Δt）的时间序列{x(n)}。
　　
　　经加窗和周期延拓处理后的信号是一个周期信号，其傅立叶积分式为：
　

     　
A/D采样离散化后的计算公式为：　

     Δt
　

     周期信号的频谱是线谱和离散谱，X(f)只能离散取值，频率取样间隔为：
　

     Δf=f_s/N
　

     频率取样点为｛0,Δf,2Δf,3Δf,....｝，有：
　

     Δt　　k=0,1,2,...N-1

     　
这就是离散傅立叶变换计算公式。为便于计算，写为三角函数形式：
　　

     k=0,1,2......　　　
　

     　　计算出实部H_R(kΔf)和虚部H_R(kΔf)后，可按下式转换为信号在kΔf频率点的幅值与相位：
　

     　|X(kΔf)|=Sqrt(X_R²(kΔf)+X_I²(kΔf))
Q(kΔf)=arctg(X_I(kΔf)/X_R(kΔf))
　

     如不考虑计算效率，用计算机编程是很容易实现的。例如，用Signal VBScript编程计算4Δf频率点的幅值与相位的程序代码为：

     pi=3.1415926
k=4
DF=Fs/N
XR=0
XI=0
For i="0" To N-1
  XR="XR"+x(i)*cos(2*pi*k*i/N)
  XI="XI"+x(i)*sin(2*pi*k*i/N)
Next
XR=(T/N)*XR
XI=(T/N)*XI
A=sqrt(XR*XR+XI*XI)
Q=atn(XI/XR)

     将k作为变量，就可以计算出信号在整个频带上的频谱。

     　
二、 快速傅立叶变换(FFT)
　　快速傅立叶变换(FFT)是实施离散傅立叶变换的一种及其迅速而有效的算法。FFT算法通过仔细选择和重新排列中间结果，在速度上较之离散傅立叶变换有明显的优点。忽略数学计算中精度的影响时，无论采用的是FFT还是DFT，结果都一样。
　
　　如果直接应用上式计算离散傅立叶变换，将花费很多时间，因此很长的一段时间里DFT的使用受到了限制。直到1965年美国的J.W.Cooley和J.W.Turkey提出了一种离散的傅立叶变换的快速算法，即FFT(Fast Fourier Transformation),才使得DFT的计算工作量大为减少。
　
　　为简化表达，且不失一般性，将离散傅立叶变换公式简写成

     由于 ,所以

     X(k+N)=X(k)

     表明X(k)是以N为周期的序列和频谱。
　
　　若令旋转因子 ，则上式又可写成

     对计算的各频率点进行展开，有：

     用矩阵表示可写成

     或

     由于 是复数，x(n)也可能是复数形式，这样，要完成上面矩阵运算共需N²次复数乘法和N(N-1)复数加法。可见，计算量与N²成正比，随着的增加，总运算次数将会急剧增加。
　
设N=2^B，于是可将[W]分解成B个矩阵的连乘，即
　

     　
其中每个矩阵的各行元素都包含有两个非零项。例如，对于N=64的情况有：
　

     　
注意这里利用了关系， ，因此W⁴=W⁰，W⁶=W²，将[W]分解成

     由于上式在分解时充分利用了旋转因子 具有周期性及合理分解的特点，从而使总的计算次数从N²量级减少到Nlog₂N量级，极大地提高了运算速度，故形成了快速傅立叶变换。

     　　最常见的FFT算法要求N是2的幂次。假定信号分析仪中的采样点数为1024点，DFT要求一百万次以上的计算工作量，而FFT则只要求10240次计算。显然，FFT可大大节约计算量，故在信号处理中中广泛采用FFT算法。目前FFT算法已有专用硬件芯片和软件模块，使用中直接选用就可以了。
　
　
三、FFT算法的应用
1. 信号的谐波分析
    信号的频谱X(f)代表了信号在不同频率分量处信号成分的大小，在许多场合，它能够提供比信号波形更直观，丰富的信息。例如，有一受噪声干扰的多频率成分周期信号，如图，从信号波形上很难看出其特征，但从信号的功率谱上却可以判断出信号中有四个很明显的周期分量。
　

     用FFT计算信号频谱的过程是，将采样信号
　

     x(k), k="0",1,2,3,...N-1

     　
经FFT变换转换到频域：
　

     X(k), k="0",1,2,3,...N-1
　

     X(k)为复数，可按下式转换为信号的幅值与相位：
　

     |X(k)|=Sqrt(X_R²(k)+X_I²(k))
Q(k)=arctg(X_I(k)/X_R(k))

     得到在频率点KΔf的信号频率成分值。
　
2.快速卷积运算
    用FFT算法可以实现离散卷积运算过程．离散卷积与连续时间系统的卷积具有相同的含义，当描述离散时间系统的输出、输入关系时，输出y(n)是输入x(n)与系统单位样值响应h(n)的卷积，即

     或

     其运算过程包括了反折、平移、乘积、取和四个步骤。可见，卷积运算过程也是很繁琐的．当序列x(n)与h(n)的样本点数分别为N₁、N₂时，其乘法的运算次数为N₁×N₂。显然，当二个样本的采样点数相同时，与DFT一样，其乘法的运算次数为N²次。
　
　　同样，依据连续傅里叶交换的时域卷积定理有，两个周期为N的时域采样函数，它们的卷积的离散傅里叶变换等于它们的离散傅里叶交换的乘积，即

     　　运用这一定理，可以对两个时城周期序列x(n)与h(n)分别计算离散傅里叶变换，再将结果相乘，然后计算乘积的离散傅里叶逆变换，即可得到两个时城周期序列的卷积。这一定理为用快速博里叶变换计算时域卷积提供了依据．

         对于采样点数相同（设为N）的二个样本，用FFT的方法作卷积，其乘法的运算次数为N(1+log₂N)次。随着N值增大，此数字比N²显著减少，因此，卷积运算可以用FFT方法实现．
　
　　需要注意的是，实现快速卷积算法中，由于利用了DFT分析，即时域和频域都是周期性离散数据，当对它们作周期卷积（或称圆卷积）运算时，将出现一种周期数据之间的迭代求和的现象，这给计算结果带来一种所谓环绕误差．避免环绕误差的方法是对x(n)与h(n)分别在尾部填补零值点，即使其周期加倍．如果x(n)与h(n)长度相等，则都加长N点。

     快速卷积过程可按如下步骤进行：
   （a）用补零的方法修正x(n)与h(n)，以避免环绕误差的出现；
   （b）利用FFT算法计算两个修正后的函数的DFT，得到X（k）与H（k）；
   （c）将X（k）与H（k）相乘，得到Y（k）= X（k）H（k）
   （d）利用FFT算法，计算出Y（k）的IDFT，即：h(n) = IDFT[Y（k）]
此即为所求的 x(n)与h(n) 的卷积。

     　　与快速卷积计算的方法相类似，也可以利用FFT作快速的相关运算。

　
　　在第二章中介绍了信号分析的基本方法、原理和作用，这里介绍如何用计算机数字计算来实现这些方法。
　
一、信号的时域参数
　
1.均值
　　均值E[x(t)]表示集合平均值或数学期望值．

E[x(t)]=x(n)/N

均值E[x(t)]计算机编程实现很简单，用Signal VBScript实现的程序代码为：

E=0
For i="0" To N-1
  E="E"+x(i)
Next
E=E/N

2.均方值
    信号x(t)的均方值E[x²(t)]()，或称为平均功率，其表达式为：

E[x²(t)]=x²(n)/N

均方值表达了信号的强度，其正平方根值，又称为有效值，也是信号的平均能量的一种表达。在工程信号测量中一般仪器的表头示值显示的就是信号的均方值。均值E[x(t)]计算机编程实现很简单，用Signal VBScript实现的程序代码为：

RMS=0
For i="0" To N-1
  RMS="RMS"+x(i)*x(i)
Next
E=sqrt(E)/N

二、信号的相关函数
　　在离散情况下，信号x(n)和y(n)的相关函数定义为：
　

R(k)=[x(n)y(k+i)]/N，k=0,1,2,....

在不考虑计算效率的情况下计算也很容易：　

For i="0" To N/2
  R(i)=0
  For j="0" To N/2
     R(i)=R(i)+x(j)*x(j+i)
  Next
  R(i)=R(i)/N
Next

三、数字滤波
    数字滤波器的作用是利用离散时间系统的特性对输入信号波形（或频谱）进行加工处理，或者说利用数字方法按预定的要求对信号进行变换。把输入序列 x(n) 变换成一定的输出序列 y(n) 从而达到改变信号频谱的目的。从广义讲，数字滤波是由计算机程序来实现的，是具有某种算法的数字处理过程。
　
　　数字滤波主要分为有限冲击响应滤波器(FIR)和无限冲击响应滤波器两种，FIR滤波器的滤波计算公式为：

y(k)=a₀x(k)+a₁x(k+1)+a₂x(k+2)+...+a_mx(k+m),k=0,1,.........N-m
　

式中N为信号采样长度，m为数字滤波器长度，{a₀,a₁,a₂,...a_m}为滤波器系数。
　
　　FIR数字滤波器和IIR数字滤波器都有专用的设计软件，给出数字滤波器的频率特性就可以求出滤波器的系数。下面是一个低通滤波器和一个高通滤波器的实例：
　

数字低通滤波的实现代码为：

For i="0" To N－7
  Y(i)=-0.02216042X(0)-0.05067773X(1)+0.26974228X(2)+0.58996165X(3)
　　　　+0.26974228X(4)-0.05067773X(5)-0.02216042X(6)
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