原创 【原创】信号处理与数学分析

    在一般的讲授数字信号基本理论的书中，数学推导往往占据了很大的篇幅。更有甚者，通篇是数学推导，难得有文字的说明和物理的解释。这往往给人一种错觉，数字信号处理的基本理论是不是必须要通过数学公式才能描述？信号处理是不是只是数学分析的一个分支？<?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />

       确实，数字信号处理中的很多概念，从理论层面的严格说明的话，如同其他学科一样，必须要借助数学工具。而且有许多的概念、性质，离开数学的推导，确实也不好有直观上的解释。但这并不意味着信号处理仅仅是数学分析的一个分支，否则的话，信号处理也不可能成为一个单独的学科，并且应用非常广泛。

       在Lyons影响非常广泛的《Understanding Digital Signal Processing》中，作者已经充分表明，只需有一般的高等数学知识，信号处理的许多概念可以很好地进行解释。这本书的意义在于，在不是很依赖数学工具的情况下，信号处理能够讲得更有趣，也更本质。我们要完全依赖数学推导来理解信号处理，更多的是因为我们对信号处理的理解还不够深刻。

       信号处理的一大基石是傅里叶变换，这在高等数学中对应的是傅里叶级数。而傅里叶级数只是高等数学中很多级数的一种，从这个意义上说，信号处理是数学分析的一个分支。从更根本上说，数学分析的基础是微积分，更核心的公式是泰勒展开，或者是多项式的分解和重构。

       而就信号处理来说，傅里叶的分解和重构有其明确的物理意义。我们经常要不断地在时域与频域之间切换，不断地变换角度来分析信号和系统。而且，信号的频率本身就来源于现实世界的物理特征。在高等数学中，这种明确的物理意义是没有的。从这个角度看，信号处理是独特的。

       虽然信号的时域表示和频域表示所包含的信息完全一致，但这并不妨碍人们不仅要从时域分析，还要从频域分析。而且，这种时域频域的不断切换往往为我们解决很多问题提供了极大的方便。无论是信号，还是系统，深刻了解其时域和频域的不同特征，是解决信号处理问题非常关键的一环。也是信号处理区别与数学分析的最重要的特征之一。

       信号处理与数学分析的这种关系，也为电子信息类专业的学生学习信号处理理论提供了很好的启示。如果从数学专业、计算机专业与电子信息类专业等不同的专业来比较，数学专业更长于数学的推导，计算机专业更长于编程的实现，电子信息类专业则更应该长于对分析过程和结果的物理解释。我想，这也正是为什么信号处理理论一般归为电子信息类专业的原因。

如果上面所言不缪的话，电子信息类专业的人员，必须在一定程度上摆脱数学的桎梏，让信号处理回归到它的物理本质上来。这恰恰是大多数信号处理图书的不足，也是很多电子信息类专业人员，特别是入门者的困惑之所在。