原创 数字信号处理——小串

         说起数字信号处理大家都会想起傅里叶，各种数学公式，可能会各种费解。但是现在计算机辅助工具的高速发展可以帮我们很大的忙，matlab软件可以帮助你更好地学习数字信号处理。我们要做的就是了解各种公式，以及应用matlab实现。

采样

要谈数字信号处理必须首先得到数字信号，那就是下面我们要说的采样定理，

模拟信号x(t)得到离散信号x(n),采集的时间周期为T（公式2）。我们可以看到他们之间有点相似。

                                                                                      公式 1

要想无失真的采样，采样T就必须满足一定的要求，因为他们的频谱有叠加的关系，所以只要保证频谱叠加为0，根据香浓采样定理，采样频率必须大于信号最大频谱的2赔，再用低频滤波器滤去高频波，就可以得到原来模拟信号的频谱。（数字滤波器都有过渡带，所以采样频率应为最大的频谱4~10倍）

离散时间傅里叶变换（x(n)绝对可加）：

                                                                  公式 2

或许我们会问为什么会有这么奇葩的一个公式，我们先可以看看下面的公式。

x(n)= ,是线性是不变系统LTI的输入，h(n)为系统的脉冲响应。

                                                                                                          公式 3

从公式3中我们可以看到，当输入为 时，输出的仅在相位与幅值变化为 的幅值与相位。就像以前的电路知识一样，把电压信号化成正弦余弦再在幅值与相位上变化。当我们把x(n)信号进行离散时间傅里叶变化时，就像当于把

x(n)分解为 形式，每一个 分量都与 作用，最后在合成。利用这种分解合成的过程可以对不同频谱进行滤波。这就是设计滤波器的思想。

离散傅里叶级数：

         对于周期性的离散型号，可以展开离散傅里叶级数

                                                                                                              公式 4

                                                                                                  公式 5

                                                                                                      公式 6

离散傅里叶级数和离散时间傅里叶变换是有关系的，x(n)= (n) (在0到N-1之间，其他x(n)为0，

可以看成是在 的单位圆山采样得到的。

离散傅里叶变化：

从上面的分析中我们可以看出，离散时间傅里叶变化就像分析频谱一样。可见其在数字信号重要性，我们看到离散时间傅里叶变化时连续的函数是w的连续函数，不便于数字信号处理运算，在进行计算时运算量很大，这样就演变出离散傅里叶变换。其实离散傅里叶变化就是离散傅里叶级数，x(n)的长度为N，从0到N-1。我们把它进行周期性扩展，得到了周期性离散信号，就可以进行离散傅里叶级数。

然而，离散傅里叶变换的运算量也是很大的，如果减少运算量就有了FFT（快速傅里叶变换），

参考书籍：数字信号处理（MATLAB版）

维纳.K.英格尔

约翰.G普罗克斯。