原创 如何利用通信系统测试中的高斯噪声(下)

为了降低某一信噪比E_b/N_o下的 BER，人们发明了多种前向纠错(FEC)技术(例如Viterbi编码，Reed Solomon码)。推导这些编码的特性曲线同样不是本文讨论的范围，其结果见图4。从图中可以看出编码效率提高时(尽管以信道利用率作为代价)曲线更加陡峭，E_b/N_o相对很小的一点变化就会极大得地影响系统的BER。现代编码技术正在继续接近香农理论的极限－曲线越来越陡，使得信噪比的影响越来越明显。因此，随着编码机制复杂程度的增加，信噪比准确程度的重要性越来越高。

以上讨论了系统中噪声的概率分布与信道BER特性之间的关系，结论很容易理解。然而但有必要仔细分析上述内容为以下的讨论作铺垫。

“瀑布曲线”基于高斯分布PDF，范围从-?到+?。为了能够在实际测试中利用到这些曲线，需要有一个能够产生近似高斯分布的系统(并不存在严格数学意义上的高斯噪声源，因为不可能输出幅度无限大的噪声)。这种近似对BER会产生什么影响？

有两种方法可以评估该影响。第一种方法，或称为方法A，是把噪声源看作限幅的理想正态分布，即幅度超过一个给定值的冲激噪声被“削波”了。噪声特性没有改变，只是幅度被限制在一定范围之内。通过查看高斯PDF的特性曲线就能看出这样的近似对BER的影响。

我们把感兴趣的两个点作上标记：导致错误发生的门限值，以及噪声被削波的截断点。当限幅发生时，截断点之上的区域被“剪切并粘贴”到截断点之下的区域中。这样做会对错误率有什么影响呢？曲线之下门限值之上的面积代表了错误率的大小，截断点以下部分通过“剪切并粘贴”操作添加了进来。该部分表示的错误率与12式所表示的相同。截断点以上的错误概率为0(图5)。这对BER曲线意味着什么？

原先判决过程中噪声n超过门限a的概率可通过下式计算：

现在我们关心的是截断点A之上没有削波时噪声n超过门限a的概率。n低于点A时该概率仍由12式给出，然而n大于A时错误概率为0。假设A点的值由许多“σ”组成，即：

其中?为某一整数，Σ为噪声分布方差。由此可以得出如下不等式：

上式说明当限幅存在时门限值必须低于截断点A才能保证有误码产生。比较11，12和14式可得如下条件：

上式表明对于限幅的噪声源，当E_b/N_o比值高于一定的上限时就无法产生误码了，该上限的值由Σ的个数?决定，它表征了噪声的质量。对于?等于3的噪声源来说，理论上可以测出的信噪比最大值为9，大于9则不会有误码。

第二种评估方法(方法B)的思路是假定噪声峰值不会超过?Σ，即该噪声源的波动范围不会超越某一门限值。见图6，与方法A的“剪切与粘贴“不同，仅仅对超过部分进行“剪切”操作然后丢弃。剪切点之上的错误概率为0，剪切点与门限之间的错误率比12式的结果略低。

错误率由曲线以下的面积决定，因此错误率的减少等于门限值之上的曲线面积减去截断点之上的曲线面积，如下式表示：

把A的表达式代入可得：

错误率下降了一个很小的幅度，该幅度值等于表征噪声源等级的“σ个数”的互补误差函数。反映到BER曲线上可以得出两个结论。首先，在前例中，当E_b/N_o大于等于λ²时不会有任何事情发生，即没有误码出现，测试受到了系统“噪声分辨率”的限制。其次，E_b/N_o小于截断点λ²时实际错误率与理论值存在误差，越接近λ²时两曲线间隔越明显。总而言之，截断点之下系统提供的误码个数略少于理论值，而截断点之上则与其他机制类似，没有错误发生。

有意思的是，大多数数字噪声发生机制中没有方法A中的限幅操作(峰值之上的“剪切与粘贴”)，因而典型的数字噪声源都存在方法B中提到的与理想高斯分布的误差。而模拟噪声机制则更加类似方法A，存在“噪声分辨率”的限制，但却不存在与高斯分布理论值的误差。

图7示出了上述两种机制，包括OQPSK的无编码以及1/2、3/4和7/8软判决码率曲线，同时比较了噪声限制为3Σ时偏离理想高斯PDF的重新计算结果。噪声分辨率限制在E_b/N_o等于9以下(对数表示约为9.54 dB)。由图中容易看出调整后的曲线在达到极限值之前就偏离了原始曲线。很显然，把噪声限制在3Σ也限制了噪声发生器的性能：自称为“高斯”的噪声发生器必须至少达到4Σ，而高性能的发生器需要超过5Σ。

对于实际的噪声发生器上述两种机制同时起作用，因此以下两个概念特别关键：

E_b/N_o 精度－当曲线更加陡峭时，对精确度的要求更高。此时机制2起主要作用。

噪声分辨率－可以看作E_b/N_o很高时(对应比特能量很大而噪声功率较小的场合)噪声发生器产生误码的能力。

没有一个独立的噪声发生系统能够产生出真正数学意义上的高斯噪声，所有的系统都是近似的。在系统测试标准都是基于理想高斯噪声分布的情况下，必须搞清楚这样的概念：选用的噪声发生机制能够达到怎样的近似程度。

以测试调制解调器为例，就应该知道测试涉及到的E_b/N_o的范围存在限制，而且测试结果也比理论值要好－这会导致一些混乱发生。仔细地研究测试的本质，需要的精度，以及噪声发生器的所能达到的限制就能使得噪声的测试过程不再那么令人困惑。

作者：Peter Matthews