原创 AR谱估计

    1.分清AR谱估计与线性预测的关系

       AR（P）过程是指x(n)由v(n)经过激励一个P阶AR模型产生；白化过程是AR的逆过程；线性预测过程e(n)=x(n)-x(n)',其中x(n)'是估计值，e(n)为估计误差，x(n)、v(n)为平稳随机过程。

       根据最小均方正交性原理为使得p=E[e(n)^2]有最小值，可得线性预测（由过去的p个样本预测x(n)）的Wiener-Hopf方程，由于系数矩阵是Toeplitz方阵，正定，方程有惟一解对应Pmin。通过自相关和Z变换的定义AR模型(已知x的N个样本)可以推导得到Yule-Walker方程。这两方程其实是相对应的，AR模型参数ak相当于预测x(n)时的线性预测系数，白噪声功率相当于线性预测的最小均方误差。由此得到两种模型实质上转换成方程的求解了。而预测误差滤波器实质上是横向结构FIR滤波器，AR模型谱估计法通常又称为线性预测AR模型法。

     2.各种算法比较

        直接用矩阵求逆解Yule-Walker方程运算量较大，Levinson-Durbin递推算法（autocorrelation求解法）使得方程的计算量简化了将近一倍。但是预测阶数接近样本长度时，即使加窗也会产生较大误差引起谱线分裂和谱线偏离，从而70年代初由日本学者板仓提出了格型预测(前向预测和后向预测)误差滤波器，因而由此引入了目前广泛应用的Burg算法。由于双向预测的能量相同并等于预测的最小均方误差，Burg算法即是求解一组反射系数使得它们的能量之和最小，再求解模型参数，当在一维即实数情况下等价于最大熵谱估计。但是Burg算法保留了Levinson-Durbin关系式的约束，因此又由Clayton、Ulrych和Nuttall提出了去除这种约束的LS（改进的协方差）算法。从算法复杂程度上，自相关法<Burg算法<LS算法。

     3.AR模型的讨论

        实际应用当中，仍有不足之处，AR估计谱与SNR有密切关系，当SNR较大时AR功率谱估计不如传统谱估计；当分析含有噪声的余弦信号时，AR并没有很大的优势；AR谱估计时借此P不容易确定。

         AR模型建立起来的只是反映功率谱对应关系并不是时域的一一对应关系。纯余弦信号可由过去的P阶系数完全预测，严格的讲不适于AR、MA、ARMA估计，根据Wold分解定理任一平稳过程都可分解为互不相关的一纯正弦过程和一规则过程。