标签: 稳定性

  这篇博客就来吧啦吧啦运算放大电路设计中，很多人都不清楚的几个概念和应用技巧。关键词主要有：有效带宽、各种增益、负反馈、稳定性、实例解说。 声明：本文只针对电压反馈型运算放大器（ VFA ）电路进行分析说明 。 整篇文章围绕“我们设计的电路实际的有效带宽是多少？”的问题进行解说。解说的思路： ①     举例引出问题简单思考； ②     找出埋藏在深处的多个关键点； ③     再举经典电路实例说明实际应用中的妙处。   一、先看开题电路图例，引出简单的问题 图 1 同相、反相放大电路 上面是什么电路，大家不屑言说，不就是放大电路嘛，同相放大、反相放大，没什么可说道的！ 只说对了一半，电路是经典到普通的不能再普通的应用了。但在我眼里更愿 把它们看成是有源滤波器 ，如果你经常处理微弱信号，我想你也会有这种看法的。这样一说，估计部分人就该有想法了吧。 不如我们先看看运算放大器噪声模型如下图所示，如果是闭环放大电路则同时要考虑外围电阻热噪声和电流噪声与电阻形成的电压噪声。                    图 2.1 运放噪声模型           图 2.2 折算到输入的总的等效噪声 等效输入噪声 ，一般默认为等效到同相输入端。这里也不必去纠结“有的文章中怎么都放在反相输入端”的问题。其实只是 2 种思路。如果采用“在输入端加入抵消噪声电压”的思路去定义等效输入噪声，那么为了抵消正端的噪声，也就在负端输入相等的噪声了。也就出现了有的文章按此种方法来定义，把等效输入噪声模型就放到了负端。 我们常讲运放在选型时，其中一条规则就是“我们要用最合适的，不是最贵最大带宽的”，因为我们总是试图最小化电路噪声，进而更精密地处理微弱信号。往往带宽最合适是最有效的，就像运放噪声的各种类型都是由对应的噪声频谱密度来定义和给出的，我们最小化带宽也就最大限度地最小化了噪声。同时最小化的带宽也在以低通滤波的功能存在于电路中。 前文既然说是有源滤波器，增益好说，那 运放电路有效带宽是多少 呢，请看下文慢慢分解。 二、接续上文，解决带宽问题就要先看几个增益相关的概念 ： 增益带宽积 （ GBP ）：大多都不陌生，针对上面的疑问，大家首先想到的估计也是这个概念。很好，它是闭环条件下 VFA 的普遍属性，当开环频响为单级点时，增益带宽积在数值上就等于单位增益带宽了。可以参见下图理解其概念。 大家在电路设计中有目的地依据 GBP 选型，都觉得很了解运放了，但是我现在要问：稍微想一下增益带宽积到底是哪个增益和哪个带宽的积呢？为什么是那个样子呢？你的概念里又有几种增益几种带宽呢？下面的内容会逐渐解惑并给出具体结论的。 图 3 增益带宽积 讲了增益带宽积和单位增益带宽，再带着上面的问题直接跳转到各种增益的定义。 开环增益 ，最简单，我们一般用数据手册中的开环频响伯德图，就是它了。 闭环增益 ，就是加入反馈反馈支路以后的各种增益，其实它包括信号增益、噪声增益。 信号增益 ，也就是我们要放大的目标信号的增益，分同相放大增益和反相放大增益参见图 1 。 噪声增益 ，参考前面提到的等效噪声，噪声增益就是放大电路的等效输入噪声所具有的增益，一般大于等于信号增益。这样的表述感觉也是在循环论证。直接用实际情况说事：就是一个放大电路， 当我们把输入短接时 ，输出的噪声水平除以同相放大增益得到的值就是等效输入噪声。那对应的增益就是噪声增益，当然失调也会算进来，毕竟失调也是一种特殊的噪声 ---- 直流噪声。闭环噪声增益只和反馈环路有关。不知说明白没有。不过没关系，下面继续跳转，最后会举例定量计算来得到噪声增益的值。 环路增益 ，是负反馈理论中的参数，不局限于运放电路，下文会详细说明。 三、独立于运放的负反馈理论的引入和初级解说 我们常用 VFA 运放有单位增益稳定地有非单位增益稳定地，参见图 5 ，两种类型的频响，也就是完全补偿运放和非完全补偿运放，二者各有各的优缺点，在设计中互为补充，历史选择了他们的共存。图 5 分别为单级点完全补偿的单位增益稳定的运放和非完全补偿的单位增益不稳定的运放。这里的稳定也就是闭环应用中的稳定性问题，开环时运放的增益等各项指标的离散度比较大，线性区太小，这里也不多述。闭环我这里也就只涉及到负反馈闭环。本篇讨论的运放都默认为 VFA 型近理想运放，且放大电路都为负反馈。 图 4 不同稳定性的运放频响 都说负反馈好，和具有优良指标的运放（都接近无穷大的开环增益和输入阻抗）结合起来，提升了放大电路的很多方面的性能，教科书上都逐条证明之，并简化成虚短虚断的 2 条百战不殆的应用宝典。 当然正反馈也是闭环，大多用在比较电路中加速响应，用在有源滤波中改善频响。这里强调一点，深度的负反馈只是提高了增益的稳定性，但同时也带来了电路振荡的不稳定隐患，即降低了电路的稳定裕度。 下面直接上负反馈理论，这里只为表达几条自己的意思选择性描述，内容不全，请见谅。强调一下反馈理论是一门自成体系的理论，不是只和运放合作办事的。 图 5 负反馈框图 这图，都熟悉，一看求和器下面的“—”号，就知道是负反馈，前向增益为 A, 反馈系数是β、 环路增益就是 T=A β 。 闭环增益公式： 这里直接给出，就不再浪费时间去推导了。其中 1+A β被称作反馈深度。 反馈网络的加入，使得 Vout 和 Vin 的关系也就较可靠地确定下来了。 提到这个图，意在指出环路增益是不依赖与输入输出信号的一个自我运行的环，再如下图详细说明： 图 6 负反馈的环路增益求解原理 我们在求解环路增益 T 时，直接把输入信号（短路）接地，把环路在某一点断开，再注入测试信号 VT ，获取另一断点处环路反馈回来的信号 VR ，求出二者比值 T=-VR/VT=A β（ @VIN=0 ）， 废话半天也就是要得到一个结论： 环路增益的确和我们的目标信号的位置无关的，目标信号都是要短路的。 同时断点的选取的也可以是任意的，可以是输入端也可以是输出端，就看自己是否方便去求。正如下面负反馈与运放结合的例子：选择输出点作为断点，来求解环路增益： 图 7 运算放大器环路增益求解过程   输入信号短接为 0 ，断开输出某点，沿着回路 2 次利用分压比计算，求出 T= -VR/VT, 对于近理想运放，认为 Rd 接近无穷， ro 接近于 0 ，以上 T 的计算公式就近似化简为我们熟悉的公式： T=a/ （ 1+R2/R1 ） =a β 顺便说明一下：在闭环应用中，对于近理想运放，由于噪声是无处不在的，我们一般直接认为噪声增益和反馈系数之倒数等效。 这个自己用心想一下就明白了。 下篇经典应用实例解说： http://forum.eet-cn.com/BLOG_ARTICLE_20129.HTM

教科书所忽略的运算放大电路的有效带宽你还并不熟悉的增益带宽积概念（下）   四、经典电路实例，解说“电路的带宽是多少？”     有了前面几节内容的蹂躏市的铺垫，下面就可以进入正题，经典实例解说。 1 、实例一：反相加法器电路，大家看一看它的各项指标如何？ 图7 反相求和电路     这个图大家很熟悉，一看就知道是反相加法器，原理就是输入端以电流形式并联反馈，用虚地这条规则来运算，瞬间能给出每一路输入对应的增益和最终的累加输出。 VOUT=-(V1*AV1+V2*AV2+V3*AV3) ，其中AV*=RFB/R*  (注：为表达方便而负号提前)。 上面的运算很正确，但实际设计中我们不光关注放大电路的增益，还要关注能够放大的目标信号的带宽是多少，那各路能处理的输入信号的带宽到底如何呢？ 有人说： V1 对应BW1=GBP/Av1 V2 对应BW2=GBP/Av2 V3 对应BW3=GBP/Av3   也有人说 ： V1 对应BW1=GBP/(1+AV1) V2 对应BW2=GBP/(1+AV2) V3 对应BW3=GBP/(1+AV3)       哪个对，哪个错或者还有其他答案呢？这时就要想到前面做的铺垫知识了。 其实，上面的两种说法都是错的，这个电路的有效闭环带宽就一个，并且是不依赖于目标信号输入方式的，正确答案应该是： 噪声增益，或者说是1/β（也就是反馈系数的倒数），本身不依赖与目标信号，在本例中Av-noise=1+RFB/Ri,其中Ri为R1,R2，R3的并联值。 同时本电路的有效带宽也就是BW=GBP/Av-noise，即每一路的信号增益都会在这个高端截止频率处出现-3dB的衰减。 可以看出这个值应该比上面两种说法得到的值要小的多。也就是说加法器是牺牲了电路的有效带宽来换取加法特性的。   这个实例说明 ① 就是噪声带宽最小化在实际中的应用； ② 也告诉我们不是信号增益决定放大电路带宽的； ③ 指出了增益带宽积是由噪声增益和有效闭环带宽的乘积 ，更准确地说应该是“增益带宽积和反馈系数的乘积决定了电路的闭环带宽”； ④ 也可应用于本文开头部分提到的有源滤波器的有效带宽的求取得到两种配置的电路具有相同的噪声增益，同时具有相同的有效带宽。   2 、实例二，也很经典的电路：运算放大器用于衰减器的配置电路，如下图 图8 运放构成的稳定地衰减器 都说运放不适合做衰减器，毕竟对于大多数运放都不适合工作于单位增益以下。但是只要明白其中奥妙所在，电路稍微一变形，就能做出稳定地衰减器出来，参照TI的技术文档A Single-Supply Op-Amp Circuit Collection。这篇文章很值得看，即使里面有些错误地配置电路，但主体还是很经典的。衰减器这一电路的技术关键，也同样是噪声增益决定电路稳定性这一方法。兼顾设置目标信号的衰减率，和加大噪声增益满足电路稳定性，一石二鸟，就有了上面的电路和对应的配置表。对于图中电路的噪声增益和信号增益大家可以自行运算试试。总之保证一点---- 噪声增益足够大后就不怕电路不稳定，即使信号增益是衰减的远小于1的。   3 、实例三：噪声增益补偿电路，     电路图如下，信号增益是多少，噪声增益是多少，有效带宽是几何？ 图9 提高噪声增益加强电路稳定性     是不是感觉电路很别扭，在实际应用中还是很重要的。     先说这个电路的用武之地，前文提到了VFA运放的两种类型，即完全补偿型和非完全补偿性运放，那么上面的电路即是针对非完全补偿型运放应用于较低信号增益情形下的经典电路。     这里再啰嗦几句，有人会问为什么有单位增益稳定地运放还要考虑单位不稳定的运放呢？前文说了二者各有优点。非完全补偿的运放，具有无与伦比的带宽和压摆率，这种高性能使得此种运放的存在是必然的。比如OPA847，ADA4895等运放。当我们想用优越的带宽和压摆率指标，却又不需要那么大增益时，就有了上面这个电路的经典应用情形出现了。     分析一下：初略考虑，由于虚短存在，RD两端电压差差不多为0，所以对于VIN而言没有负载效应。 即VIN的增益依然和没有RD时是一样的，为AV=1+RF/RG   。 但RD的加入必然使得反馈环路中的反馈系数大大减小为β=(RD||RG)/ ; 也就是说噪声增益Av-noise=1/β=1+RF/(RD||RG),(注：RD||RG的值可以很小于RG)     总之，RD的加入使得噪声增益大大增加，信号增益不受影响，同时能够保证放大电路的稳定性，也充分利用了非完全补偿型运放的优越特性。这是一石三鸟的事情。当然具体设计参数和优化方式只能因地制宜，这里只讲基础的原理：就是各种增益、实际带宽等参数的获取。 五、总结     从简单的药引子到问题关键点的整理，再到经典实例解说，估计大家心里也都有了个谱，运放电路设计是不是又增加了些许的底气呢？应用实例千千万，万变不离其宗，下面也来汇总几点内容： ① VFA运放自身就是一个低通滤波器，在电路设计时甚至可以直接用来作为优良的有源滤波器，带宽正好、增益可调、噪声最低。 ②负反馈理论与运算放大器的结合，使得放大电路的很多性能得到改善，可控度加强，但依然要理解负反馈理论的独立性，它完全不依赖于运放。 ③ 闭环噪声增益和电路的反馈系数是不依赖于目标信号输入形式的，只和反馈环本身有关。 ④ “反馈系数决定运算放大电路的有效带宽，反馈系数决定了运算放大电路的稳定性”。 ⑤ 反馈理论一样用来解决放大电路的稳定性问题的根本； ⑥ 区别对待信号增益、噪声增益，可以在设计中，取长补短、游刃有余、回避很多问题，比如针对非完全补偿型运放的设计举例、衰减器实例中的那样。     好啦，废话这么多，目的就一个：得出上面几条不值钱的总结，分享给大家，想说对于设计问题，多注意细节，多思考本质，把设计当作证明题来做，有理有据有亮点，得分就会高。最后小提一下，打字很幸苦，请尊重作者的劳动！转载请注明出处！

《线性及开关电源的控制环路设计》是Power Electronics前专栏作者Christophe Basso的最新著作。此著作注重探讨工程师真正需要了解的补偿及稳定给定控制系统的知识。本文包含此书有关稳定性标准章节的摘录内容。 在电子领域，振荡器是一种能够产生自激正弦信号的电路。在多种多样的配置中，振荡器的加速过程牵涉到采用振荡器的电子电路固有的噪声。上电时噪声等级上升，此时开始振荡及自激。此类电路可采用图1所示的构成模块组成。如您所视，此配置看上去非常接近于我们控制系统的配置。 图1：振荡器实质上是一种误差信号，不会妨碍输出信号变化的控制系统。 在我们的示例中，励磁输入并非噪声，而是电压电平Vin，它被注入为输入变量以启动振荡器。直接通道由传递函数H(s)构成，而返回通道包含G(s)区块。要分析此系统，我们首先通过输出电压与输入变量的变化关系方程式来写出其传递函数： 如果我们扩充此公式及Vout(s)项，我们就得到 故此类系统的传递函数就是： 在此方程式中，乘积G(s)H(s)称作环路增益，其标记为T(s)。要将我们的系统转换为自激振荡器，则必须存在输出信号，即使输入信号已消失。为了满足这样的目标，就必须符合下列条件： 要在Vin消失条件下验证此方程式，商数(quotient)就必须无限大。商数无限大的条件就是特征方程式D(s)等于0： 要满足此条件，G(s)H(s)必须等于-1。换句话说，环路增益的大小就必须为1，其符号应当改为负号。正弦信号的符号改变只不过是相位翻转180°。这两个条件能以下面两个方程式来进行数学表述： 图2：振荡条件能以波特图或奈奎斯特图来表述。 在满足这两个方程式的条件下，我们就得到稳态振荡条件。这就是所谓的巴考森(Barkhausen)标准，由德国物理学家Barkhause在1921年提出。实际上讲，在一个控制环路系统中，它表示修正信号不再抗拒输出，而是相位形式返回，振幅恰好与励磁信号相同。方程式(6)和(7)在波特图(Bode plot)中表示环路增益曲线，此曲线穿过0dB轴，且恰好在此点受180°相位滞后影响。在奈奎斯特分析中，环路增益的虚数及实数部份相对频率的变化关系被绘制成图，此点对应于-1, j0。图2显示了满足振荡条件的两个曲线。如果系统略微偏离这些值(如温度漂移、增益变化)，输出振荡要么会以指数形式下降至0，要么振幅发散，直到达到较高或较低的电源轨。在振荡器中，设计人员竭力尽可能多地降低增益余量，使振荡条件在多种工作条件下都能满足。 【分页导航】 第1页： 稳态振荡条件 第2页： 稳定条件 第3页： 限制带宽 第4页： 增益余量及稳定条件 第5页： 不太可能有大增益 第6页： 稳定，或是不稳定？ 《电子技术设计》网站版权所有，谢绝转载 稳定条件 如您所知，控制系统的目标不是构建振荡器。我们希望控制系统提供高速、精确及无振荡的响应。因此，我们必须避开满足振荡或发散条件的配置。一种方式是限制系统会作出反应的频率范围。就定义而言，频率范围或带宽，对应于从输入到输出之闭合环路传输通道下降3dB的频率。闭合环路系统的带宽能被视作频率范围，在此范围内系统被认为会极佳地响应其输入(即遵循设定点或有效地抑制扰动)。我们在后文会看到，在设计阶段，我们并不直接控制闭合环路带宽，但会控制交越频率(crossover frequency) fc——这是一项跟开环路分析有关的参数。这两个变量通常被概略认为相等，但我们会看到这仅在一种条件下成立。然而，它们相差得也不太远，在讨论中这两项能互换。 我们已经看到，开环路增益是我们系统中的一项重要参数。当增益存在时(即|T(s)|1)，系统以动态闭合环路工作，能补偿输入的扰动或对设定点变化作出反应。然而，系统反应也存在限制：系统必须在扰动信号所涉及的频率提供增益。如果设定点变化的扰动太快，励磁信号的频率成分就低于系统带宽，表示这些频率缺少增益：系统变慢且不会作出反应，工作状态就像环路对波形变化没有响应。那么，是否就要求无限大的带宽呢？不是的，因为增加带宽就象是拓宽漏斗的直径：您当然可以收集到更多信息，并对输入振动更快地作出反应，但系统也将接收到伪信号(spurious signal)，如转换器在某些情况下自己产生的噪声及寄生参数(如开关电源中的输出涟波)。因此，强制要求将带宽限制在您应用真正要求的范围。采用的带宽太宽将削弱系统的抗噪声性能(如其抑制外部寄生信号的强固性)。 【分页导航】 第1页： 稳态振荡条件 第2页： 稳定条件 第3页： 限制带宽 第4页： 增益余量及稳定条件 第5页： 不太可能有大增益 第6页： 稳定，或是不稳定？ 《电子技术设计》网站版权所有，谢绝转载 限制带宽 我们怎样限制控制系统的带宽？方法就是通过补偿器区块G改变环路增益曲线。此区块将确保在一定量的频率fc后，环路增益的大小|T(fc)|下降至低于1或0dB。如同我们所阐述的，一旦环路闭合，它大致就是您的控制系统的带宽。发生此现象时的频率称作交越频率，标作fc。这就是否足够获得强健的系统？不是的，我们需要确保另一个重要参数：幅值为1的点的相位T(s)必须低于-180°。从我们的实验来看，我们已经看到当环路增益在交越频率处低于-180°时，我们获得了朝稳态收敛的响应。这很明显是我们控制系统极想要的一种特征。为了确保我们在交越时避开-180°，补偿器G(s)必须在选定的交越频率处订制环路幅角(argument)以构建相位余量(phase margin, PM或φm)。相位余量可以被视作一项设计或安全限制，确保在即使存在外部扰动或不可避免的生产差异范围(production spread)的情况下，环路增益的变化不会破坏稳定性。我们在后文会看到，相位余量还会影响系统的瞬时响应。因此，相位余量的选择并不只是取决于稳定性考虑因素，还取决于您期望的瞬时响应类型。相位余量的数学定义如下所示： 其中T代表开环路增益，其中包括分级的控体H和补偿器G增益。 图3中显示了经典补偿的典型环路增益曲线，其中显示交越频率为6.5kHz。在此点，T(s)相位为-90°。如果您想在6.5kHz时从-180°起步，并正向清点相位度数直至穿越幅角波形，您在此例中就得到90°的相位余量。这就是一个极为强健的系统，被认为在各种条件下都稳定：即使在交越点附近环路增益有一定程度的变化，也没有可能在相位余量太小的频率交越。所谓的“太小”，我们指的是相位余量接近30°极限，低于此值时系统就提供不可接受的振铃(ringing)响应。这就是为什么您在上学时学习到45°是极限，此值相较于30°而言提供了额外的余量。我们稍后会看到这些数字的来源分析。 图3：在此示例中，0dB交越点位于6.5kHz，此频率时总相位滞后提供了90°的相位余量。 【分页导航】 第1页： 稳态振荡条件 第2页： 稳定条件 第3页： 限制带宽 第4页： 增益余量及稳定条件 第5页： 不太可能有大增益 第6页： 稳定，或是不稳定？ 《电子技术设计》网站版权所有，谢绝转载 增益余量及稳定条件 图4显示了被补偿转换器的另一个典型频率响应，重点显示了0dB交越点及相位余量。我们根据经验可知，构成转换器的元件在产生生命周期内会再现性能变化。这些变化可能是因正常的生产差异范围引起的(如电阻或电容遭受逐批次公差不同的影响)。转换器的环境工作条件也对元件有影响。在这些变量中，温度充当关键角色，影响被动或主动元件参数，如电容或电感等效串列电阻(ESR)、光耦电流传递比(CTR)或是双极晶体管的beta值。这些变量影响环路增益，使其上升或下降，具体则取决于受影响的参数。 图4：环路增益会显示出对温度等外部参数的敏感性。出现变化时，相位余量必须始终保持在安全限制范围内。 如果增益曲线出现变化，0dB交越频率将过渡至新的值，为转换器施加不同的带宽。在这些变化条件下转换器的稳定性会受到怎样的影响？如果新的交越频率出现在相位余量较少的点，瞬时响应性能可能下降，使过冲不再能被接受。因此，身为设计人员，你的责任就是确保这些差量(dispersion)在你接近-180°极限时不会突然增大增益。您需要充足的增益余量，其定义如下所示： 它对应于恰好为-180°或弧度的频率点(图3中为1MHz)。 图4描绘了由于所选择元件生产差异范围导致的±10dB典型增益变化。它带来了1.5kHz至30kHz的交越频率。在此区域，相位余量从70°变为45°，这些都是理论上的安全数字。最坏情况是什么？就是新的交越频率在总相位滞后180°处出现。这条件在1MHz时出来，表示有35dB的正增益变化。 【分页导航】 第1页： 稳态振荡条件 第2页： 稳定条件 第3页： 限制带宽 第4页： 增益余量及稳定条件 第5页： 不太可能有大增益 第6页： 稳定，或是不稳定？ 《电子技术设计》网站版权所有，谢绝转载 不太可能有大增益 有利的是，当今电子电路中不太可能出现35dB的增益变化。以前，在变压器或伺服系统(servomechanism)采用真空管电路驱动的时候，上电序列期间的准备(warm-up)时间可能引起大的环路增益变化。因此，增益规定有必要排斥可能存在稳定性风险的第二个点。此总相位滞后达-180°的频率处的环路增益曲线上可见这增益余量，在图3中被标记为GM。在当今电子电路中，高于10dB的增益余量通常就足够了，除非您的环路增益对外部参数极为敏感。 增益漂移的另一个示例如图5所示。图中显示另一个被补偿的转换器在10kHz时出现80°的相位余量。根据前文的讨论，我们知道可能会出现增益变化，致使增益曲线上扬或下走。在我们的示例中，我们可以发现2kHz附近一个区域的相位余量小到只有18°。如果出现20至25dB的增益下降，你最后得到的控制系统就会出现相当危险的约2kHz的低相位余量。这就会导致振荡响应，很可能超出过冲规范。此类系统被认为是有条件稳定。有利的是，如前所述，25dB的增益变化并不常见，有这等增益余量的系统可被视为强健。然而，我看见过在一些设计案例中，最终使用者(您的客户)在规范中清晰标明不接受有条件的设计，要求在低于交越频率的所有点提供大于60°的相位余量。在这种情况下，就强制要求补偿转换器，使得无论什么工作条件下，低于交越频率时都不存在相位余量降低的区域。 图5：在此示例中，如果增益漂移至低于25dB，曲线就在相位余量仅为18°的频率点过0dB轴。如此的相位余量将受大的过问影响，提供振荡极大的响应。这就是有条件稳定的案例。 【分页导航】 第1页： 稳态振荡条件 第2页： 稳定条件 第3页： 限制带宽 第4页： 增益余量及稳定条件 第5页： 不太可能有大增益 第6页： 稳定，或是不稳定？ 《电子技术设计》网站版权所有，谢绝转载 稳定，或是不稳定？ 通常认为，在交越前相位下降至低于-180°的系统是不稳定的系统。这样的响应如图6所示。在1kHz后相位曲线快速下降，并在1.5kHz之后的数kHz范围内越过-180°的极限。然后相位曲线又上扬，在10kHz时提供50°的相位余量。是的，此系统很稳定，只不过是因为在0dB时我们不满足方程式(7)。要记住的是，要消除方程式(3)的分母，您必须使增益大小恰好等于1且相位滞后180°或更多。在图中，我们可以看到任何点都不满足此条件。然而，值得一提的是，此环路极具条件相关性。如果增益减少数dB，您的相位余量将变得低于45°。增益再下降10dB，您将进入相位余量为0的危险区，这时会达到振荡条件。 图6：相位滞后180°，但处于增益大于的区域。这并不构成问题，其回应可以接受。 注：本文经出版商Artech House, Inc., Boston批准，节选自《线性及开关电源控制环路设计教程》(c) 2012一书。此书的主题包括：环路控制基础、传递函数、控制系统的稳定条件、补偿、以运算放大器为基础的补偿、以运算跨导放大器为基础的补偿、以TL431为基础的补偿、以为流稳压器为基础的补偿、测量及设计实例。此书可以ArtechHouse.com、Amazon.com或BN.com上购买。 【分页导航】 第1页： 稳态振荡条件 第2页： 稳定条件 第3页： 限制带宽 第4页： 增益余量及稳定条件 第5页： 不太可能有大增益 第6页： 稳定，或是不稳定？ 《电子技术设计》网站版权所有，谢绝转载

《线性及开关电源的控制环路设计》是Power Electronics前专栏作者Christophe Basso的最新著作。此著作注重探讨工程师真正需要了解的补偿及稳定给定控制系统的知识。本文包含此书有关稳定性标准章节的摘录内容。 在电子领域，振荡器是一种能够产生自激正弦信号的电路。在多种多样的配置中，振荡器的加速过程牵涉到采用振荡器的电子电路固有的噪声。上电时噪声等级上升，此时开始振荡及自激。此类电路可采用图1所示的构成模块组成。如您所视，此配置看上去非常接近于我们控制系统的配置。 图1：振荡器实质上是一种误差信号，不会妨碍输出信号变化的控制系统。 在我们的示例中，励磁输入并非噪声，而是电压电平Vin，它被注入为输入变量以启动振荡器。直接通道由传递函数H(s)构成，而返回通道包含G(s)区块。要分析此系统，我们首先通过输出电压与输入变量的变化关系方程式来写出其传递函数： 如果我们扩充此公式及Vout(s)项，我们就得到 故此类系统的传递函数就是： 在此方程式中，乘积G(s)H(s)称作环路增益，其标记为T(s)。要将我们的系统转换为自激振荡器，则必须存在输出信号，即使输入信号已消失。为了满足这样的目标，就必须符合下列条件： 要在Vin消失条件下验证此方程式，商数(quotient)就必须无限大。商数无限大的条件就是特征方程式D(s)等于0： 要满足此条件，G(s)H(s)必须等于-1。换句话说，环路增益的大小就必须为1，其符号应当改为负号。正弦信号的符号改变只不过是相位翻转180°。这两个条件能以下面两个方程式来进行数学表述： 图2：振荡条件能以波特图或奈奎斯特图来表述。 在满足这两个方程式的条件下，我们就得到稳态振荡条件。这就是所谓的巴考森(Barkhausen)标准，由德国物理学家Barkhause在1921年提出。实际上讲，在一个控制环路系统中，它表示修正信号不再抗拒输出，而是相位形式返回，振幅恰好与励磁信号相同。方程式(6)和(7)在波特图(Bode plot)中表示环路增益曲线，此曲线穿过0dB轴，且恰好在此点受180°相位滞后影响。在奈奎斯特分析中，环路增益的虚数及实数部份相对频率的变化关系被绘制成图，此点对应于-1, j0。图2显示了满足振荡条件的两个曲线。如果系统略微偏离这些值(如温度漂移、增益变化)，输出振荡要么会以指数形式下降至0，要么振幅发散，直到达到较高或较低的电源轨。在振荡器中，设计人员竭力尽可能多地降低增益余量，使振荡条件在多种工作条件下都能满足。 【分页导航】 第1页： 稳态振荡条件 第2页： 稳定条件 第3页： 限制带宽 第4页： 增益余量及稳定条件 第5页： 不太可能有大增益 第6页： 稳定，或是不稳定？ 《电子技术设计》网站版权所有，谢绝转载 稳定条件 如您所知，控制系统的目标不是构建振荡器。我们希望控制系统提供高速、精确及无振荡的响应。因此，我们必须避开满足振荡或发散条件的配置。一种方式是限制系统会作出反应的频率范围。就定义而言，频率范围或带宽，对应于从输入到输出之闭合环路传输通道下降3dB的频率。闭合环路系统的带宽能被视作频率范围，在此范围内系统被认为会极佳地响应其输入(即遵循设定点或有效地抑制扰动)。我们在后文会看到，在设计阶段，我们并不直接控制闭合环路带宽，但会控制交越频率(crossover frequency) fc——这是一项跟开环路分析有关的参数。这两个变量通常被概略认为相等，但我们会看到这仅在一种条件下成立。然而，它们相差得也不太远，在讨论中这两项能互换。 我们已经看到，开环路增益是我们系统中的一项重要参数。当增益存在时(即|T(s)|1)，系统以动态闭合环路工作，能补偿输入的扰动或对设定点变化作出反应。然而，系统反应也存在限制：系统必须在扰动信号所涉及的频率提供增益。如果设定点变化的扰动太快，励磁信号的频率成分就低于系统带宽，表示这些频率缺少增益：系统变慢且不会作出反应，工作状态就像环路对波形变化没有响应。那么，是否就要求无限大的带宽呢？不是的，因为增加带宽就象是拓宽漏斗的直径：您当然可以收集到更多信息，并对输入振动更快地作出反应，但系统也将接收到伪信号(spurious signal)，如转换器在某些情况下自己产生的噪声及寄生参数(如开关电源中的输出涟波)。因此，强制要求将带宽限制在您应用真正要求的范围。采用的带宽太宽将削弱系统的抗噪声性能(如其抑制外部寄生信号的强固性)。 【分页导航】 第1页： 稳态振荡条件 第2页： 稳定条件 第3页： 限制带宽 第4页： 增益余量及稳定条件 第5页： 不太可能有大增益 第6页： 稳定，或是不稳定？ 《电子技术设计》网站版权所有，谢绝转载 限制带宽 我们怎样限制控制系统的带宽？方法就是通过补偿器区块G改变环路增益曲线。此区块将确保在一定量的频率fc后，环路增益的大小|T(fc)|下降至低于1或0dB。如同我们所阐述的，一旦环路闭合，它大致就是您的控制系统的带宽。发生此现象时的频率称作交越频率，标作fc。这就是否足够获得强健的系统？不是的，我们需要确保另一个重要参数：幅值为1的点的相位T(s)必须低于-180°。从我们的实验来看，我们已经看到当环路增益在交越频率处低于-180°时，我们获得了朝稳态收敛的响应。这很明显是我们控制系统极想要的一种特征。为了确保我们在交越时避开-180°，补偿器G(s)必须在选定的交越频率处订制环路幅角(argument)以构建相位余量(phase margin, PM或φm)。相位余量可以被视作一项设计或安全限制，确保在即使存在外部扰动或不可避免的生产差异范围(production spread)的情况下，环路增益的变化不会破坏稳定性。我们在后文会看到，相位余量还会影响系统的瞬时响应。因此，相位余量的选择并不只是取决于稳定性考虑因素，还取决于您期望的瞬时响应类型。相位余量的数学定义如下所示： 其中T代表开环路增益，其中包括分级的控体H和补偿器G增益。 图3中显示了经典补偿的典型环路增益曲线，其中显示交越频率为6.5kHz。在此点，T(s)相位为-90°。如果您想在6.5kHz时从-180°起步，并正向清点相位度数直至穿越幅角波形，您在此例中就得到90°的相位余量。这就是一个极为强健的系统，被认为在各种条件下都稳定：即使在交越点附近环路增益有一定程度的变化，也没有可能在相位余量太小的频率交越。所谓的“太小”，我们指的是相位余量接近30°极限，低于此值时系统就提供不可接受的振铃(ringing)响应。这就是为什么您在上学时学习到45°是极限，此值相较于30°而言提供了额外的余量。我们稍后会看到这些数字的来源分析。 图3：在此示例中，0dB交越点位于6.5kHz，此频率时总相位滞后提供了90°的相位余量。 【分页导航】 第1页： 稳态振荡条件 第2页： 稳定条件 第3页： 限制带宽 第4页： 增益余量及稳定条件 第5页： 不太可能有大增益 第6页： 稳定，或是不稳定？ 《电子技术设计》网站版权所有，谢绝转载 增益余量及稳定条件 图4显示了被补偿转换器的另一个典型频率响应，重点显示了0dB交越点及相位余量。我们根据经验可知，构成转换器的元件在产生生命周期内会再现性能变化。这些变化可能是因正常的生产差异范围引起的(如电阻或电容遭受逐批次公差不同的影响)。转换器的环境工作条件也对元件有影响。在这些变量中，温度充当关键角色，影响被动或主动元件参数，如电容或电感等效串列电阻(ESR)、光耦电流传递比(CTR)或是双极晶体管的beta值。这些变量影响环路增益，使其上升或下降，具体则取决于受影响的参数。 图4：环路增益会显示出对温度等外部参数的敏感性。出现变化时，相位余量必须始终保持在安全限制范围内。 如果增益曲线出现变化，0dB交越频率将过渡至新的值，为转换器施加不同的带宽。在这些变化条件下转换器的稳定性会受到怎样的影响？如果新的交越频率出现在相位余量较少的点，瞬时响应性能可能下降，使过冲不再能被接受。因此，身为设计人员，你的责任就是确保这些差量(dispersion)在你接近-180°极限时不会突然增大增益。您需要充足的增益余量，其定义如下所示： 它对应于恰好为-180°或弧度的频率点(图3中为1MHz)。 图4描绘了由于所选择元件生产差异范围导致的±10dB典型增益变化。它带来了1.5kHz至30kHz的交越频率。在此区域，相位余量从70°变为45°，这些都是理论上的安全数字。最坏情况是什么？就是新的交越频率在总相位滞后180°处出现。这条件在1MHz时出来，表示有35dB的正增益变化。 【分页导航】 第1页： 稳态振荡条件 第2页： 稳定条件 第3页： 限制带宽 第4页： 增益余量及稳定条件 第5页： 不太可能有大增益 第6页： 稳定，或是不稳定？ 《电子技术设计》网站版权所有，谢绝转载 不太可能有大增益 有利的是，当今电子电路中不太可能出现35dB的增益变化。以前，在变压器或伺服系统(servomechanism)采用真空管电路驱动的时候，上电序列期间的准备(warm-up)时间可能引起大的环路增益变化。因此，增益规定有必要排斥可能存在稳定性风险的第二个点。此总相位滞后达-180°的频率处的环路增益曲线上可见这增益余量，在图3中被标记为GM。在当今电子电路中，高于10dB的增益余量通常就足够了，除非您的环路增益对外部参数极为敏感。 增益漂移的另一个示例如图5所示。图中显示另一个被补偿的转换器在10kHz时出现80°的相位余量。根据前文的讨论，我们知道可能会出现增益变化，致使增益曲线上扬或下走。在我们的示例中，我们可以发现2kHz附近一个区域的相位余量小到只有18°。如果出现20至25dB的增益下降，你最后得到的控制系统就会出现相当危险的约2kHz的低相位余量。这就会导致振荡响应，很可能超出过冲规范。此类系统被认为是有条件稳定。有利的是，如前所述，25dB的增益变化并不常见，有这等增益余量的系统可被视为强健。然而，我看见过在一些设计案例中，最终使用者(您的客户)在规范中清晰标明不接受有条件的设计，要求在低于交越频率的所有点提供大于60°的相位余量。在这种情况下，就强制要求补偿转换器，使得无论什么工作条件下，低于交越频率时都不存在相位余量降低的区域。 图5：在此示例中，如果增益漂移至低于25dB，曲线就在相位余量仅为18°的频率点过0dB轴。如此的相位余量将受大的过问影响，提供振荡极大的响应。这就是有条件稳定的案例。 【分页导航】 第1页： 稳态振荡条件 第2页： 稳定条件 第3页： 限制带宽 第4页： 增益余量及稳定条件 第5页： 不太可能有大增益 第6页： 稳定，或是不稳定？ 《电子技术设计》网站版权所有，谢绝转载 稳定，或是不稳定？ 通常认为，在交越前相位下降至低于-180°的系统是不稳定的系统。这样的响应如图6所示。在1kHz后相位曲线快速下降，并在1.5kHz之后的数kHz范围内越过-180°的极限。然后相位曲线又上扬，在10kHz时提供50°的相位余量。是的，此系统很稳定，只不过是因为在0dB时我们不满足方程式(7)。要记住的是，要消除方程式(3)的分母，您必须使增益大小恰好等于1且相位滞后180°或更多。在图中，我们可以看到任何点都不满足此条件。然而，值得一提的是，此环路极具条件相关性。如果增益减少数dB，您的相位余量将变得低于45°。增益再下降10dB，您将进入相位余量为0的危险区，这时会达到振荡条件。 图6：相位滞后180°，但处于增益大于的区域。这并不构成问题，其回应可以接受。 注：本文经出版商Artech House, Inc., Boston批准，节选自《线性及开关电源控制环路设计教程》(c) 2012一书。此书的主题包括：环路控制基础、传递函数、控制系统的稳定条件、补偿、以运算放大器为基础的补偿、以运算跨导放大器为基础的补偿、以TL431为基础的补偿、以为流稳压器为基础的补偿、测量及设计实例。此书可以ArtechHouse.com、Amazon.com或BN.com上购买。 【分页导航】 第1页： 稳态振荡条件 第2页： 稳定条件 第3页： 限制带宽 第4页： 增益余量及稳定条件 第5页： 不太可能有大增益 第6页： 稳定，或是不稳定？ 《电子技术设计》网站版权所有，谢绝转载

  元芳：大人，听说玉渊潭的樱花开的正好，不知大人要不要带我等同去观玩一番？   狄：元芳，还是先把前日问题说完。樱花明年还会带开，先练就一身本领，明年樱花更艳……   元芳：大人……   狄：照数据手册推荐，高于500Hz使用III型反馈网络，即反馈电阻高端并电容Cff。此电容会引入一个较小的零点，后面跟随一个稍高的极点，引入总相位抵销，但幅度会有提升，因此能使交叉频率后移。交叉频率后移可以使系统具有更快的响应速度，更好应对系统突发电流变化。   元芳：那具体能后移多少呢？   狄：幅度提升大小主要取决于Z2到P2的距离（该距离主要受R1、R2比值限制，即受输出电压和参考电压比值的限制，此比值很小时，幅度提升效果较差）。因为交叉频率推荐使用fc/10，即100KHz，如果不使用Cff则往往难达到预期。   元芳：那，大人，这些零极点到底该如何放置呢？   狄：零极点总的补偿原则是：Z1、P1由负载和滤波电容决定；Z3取P1或稍靠前；P4取交叉频率2倍以上；Z2取低于启动时间倒数对应频率，P2由Z2和输出电压决定；P3在原点处，放置时不考虑。   元芳：原来如此！一旦知道各零极点担负职责，就能确定出其位置，然后就可以找一个突破口，计算出所有器件的参数！   狄：正是！整体思路是：         （1）确定开关频率1MHz。   （2）确定交叉频率100KHz ~ 200KHz，暂时取100KHz，后面视情况进行微调。   （3）负载为1欧，3.3V共两个10uF瓷片电容，其他小电容忽略。由此确定Z1在3.2MHz（此频点由电容类型决定，高于开关频率，由板级小电容负责此频段滤波，故不予考虑），P1在8KHz。   （4）按交叉频率处增益为0dB，求出RC。具体公式参考数据手册，求得RC=9.66K，取10K。   （5）由P1确定Z3，然后再由RC算出CC。求得CC为2nF，取2.2nF。   （6）根据系统要求，上电软启动时间取940us，倒数对应的频率为1.06K。   （7）Z2对应的频率应低于1.06K，R1取推荐值40.2K，则计算出Cff大于3.7nF，取4.7nF。   （8）P4所在频率应高于200K，由RC为10K，可得，CROLL应小于80pF。该极点是用于滤除COMPx网络线上的高频干扰。因为我们的PCB走线很短，而且为多层板，耦合干扰会很小，而P4越靠近交叉频率就会导致幅度和相位裕量减少，所以这里仅取22pF。   （9）最终为与其他器件统一，减少BOM种类，RC更换为12.7K，这会导致交叉频率向高频方向有偏移，但仍满足要求。   元芳：大人，经大人一翻演示，元芳豁然开朗！原来电路果真是设计出来的，而非照抄！   狄：嗯，名士谋于未然，止患于前，遇问题时方见优劣。元芳，你且按此参数调整电路，然后再去做一次仿真！   元芳：好！（直奔西厢，顷刻即出）   元芳：大人，按您所算，调整参数后，仿真得到交叉频率112KHz，相位裕量37.1度，增益裕量12dB。满足稳定性要求。   狄：元芳，你按照如上参数重新更换板上器件，测一下实际输出看是否正常。   元芳：好！我马上去！   （盏茶工夫，元芳捧着一份测试结果来找狄大人）   元芳：大人，1.2V电源上的振荡果然不在了，不过，有一个80us间隔的波动，峰值达到35mV，您看这是怎么回事？       狄：嗯，这个波动是由于系统周期性处理事务导致的。因为系统中的DSP和CPLD都是以80us行周期进行运算操作，所以会有周期性的电量需求变化，这会导致电压波动，按芯片要求，低于5%即60mV便可满足系统需求，这里35mV跌落属正常现象。如果可以在后端再加一些1uF小电容进行退耦。   元芳：原来如此。   狄：我们再看之前240mV峰峰的振荡信号已经看不到踪迹，整体纹波已经达到mV级别，单从波形看效果十分良好！   元芳：可这样是否就说明电源足够稳定了呢？   狄：这点比较遗憾，我们暂时只能通过仿真来推断系统具有良好的稳定性！但如果真的要确定其稳定性的话需要切断反馈环路，利用网络分析仪来测量其真实幅频、相频特性。因为我们无此设备，故只能利用仿真推断。如果今后得此设备，你可参照我们的仿真电路来核对我等推断。但往往仿真与计算一致时，实际情况也会与其一致。     元芳：元芳明白了。这个案子如此也算结了，待元芳回去再温习一下，理清来龙去脉，等真正吸收其精髓，它日再遇此难题也定不会手足无措。   元芳，你对此电路有何看法？（1） 元芳，你对此电路有何看法？（2） 元芳，你对此电路有何看法？（3） 元芳，你对此电路有何看法？（4） 元芳，你对此电路有何看法？（5） 元芳，你对此电路有何看法？（6） 元芳，你对此电路有何看法？（7-终结）