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信号与系统（1） ​ ​

    “ 这个长假你去看人海了吗 ?” 。长假出游的人还是一年比一年多 , 这不正说明中国人的幸福指数越来越高吗 ?   我的美国同事们一年最长的法定假期好象最多只有四天（其实是两天 , 将周末连在一起算四天），我不知道他们是不是也觉得我们有这样的长假是一种很幸福的事情呢。 不过 , 我是很享受这长假的，因为平时休年假，休假时的电话还是不能不接 , 邮件还是不能不回 , 因此，那也不算真休假，只是为了处理点私人的事情而不得不请假。       最没有创意的休假方式是 , 慵懒地吃 , 慵懒地睡，看看书 , 看看碟，偶尔 ML 一下 , 没有电话，没有邮件。如果您和别人这样分享您就是这么过长假的 , 肯定是会被 BS 的。 可是还有什么样的休假比慵懒的休息更好呢 ? ！ 但是如果国人都以这样方式休假，政策制订者会很不高兴，因为这将很不促进消费 , 全民放假睡觉有什么意思呢 !     “ 您幸福吗？ ”  “…… 想一想，当你抬头猛然对着摄像机，接着一个大棒子话筒塞到嘴边，同时有人抛给你一个 “ 幸不幸福 ” 这么高度抽象和不着边际的问题，你的脑子需要在电光火石之间对 “ 幸福 ” 这个词发生联想，并快速检索你短暂的一生。你可能想到小学老师对你的表扬，也可能想到被暗恋对象拒绝后还踩了一脚狗屎；你可能想到曾经买了五年彩票终于幸运的中了 20 元大奖，也可能想到被老板臭骂一顿可他却是拖欠你工资的人 ……”   所以，那个老兄回答得好啊 :“ 这事很复杂 ” 。         长假里我开始尝试使用微博，才发现看微博和用翻墙软件去看政治八卦一样的有趣。 很多一线的政治经济文化娱乐精英们都是些 “ 微博控 ”, 都是些愤青 , 每个人都想扮演布道者 , 每个都想成为公共知识分子似的。我才明白微博的魅力不在于你要象小喇叭一样地广播什么 , 对于我们这些普通人 , 我们就潜伏在那里，关注那些精英吵吵架，愤愤青就好了。当然，这个假期里精英们免不了要讨论的是关于高速是否该免费。 真尼妈扯得很啊。我这 “ 工科男 ” 都知道，免费看电影就等于谁也看不了电影的经济学常识，难道我们的党国决策者就不知道吗？难道我们就一定要收费就不堵了吗？ 春节长假时，那时候高速收费，我有个同事开车回湖南 , 开了 36 个小时，路上堵得一蹋糊涂。这次长假我有个同事开车回湖南开了 30 个小时，路上当然也堵得一蹋糊涂。这次我有另外有个同事开车回安徽 ,12 个小时里开了 200 公里， “ 被赏中秋月 ” 一夜，最终选择在一个小县城下高速找旅馆休息了。 …… 我于是开始分析：在长假头一天晚上和第一天的高峰时间选择开车上高速的 , 我估计 90% 以上是长途的，因为如果是短途游玩，为什么要选择在高峰期出去呢 ?   而如果是长途出去，做出诸如开车回家，自驾游之类的决策 , 高速过路费的免费与否会占个人决策的很大因素吗？但是无论如何，高速免费绝对是吸引了更多的车子上路。         忽发一奇想 , 如果坐飞机从中国到韩国、台湾等地，机票是免费的 , 那么肯定去这些地方的旅游人数激增。 因此，我觉得中国周边国家特别是韩国应从这方面打点主意，搞个长假机票补助 , 只要在长假来旅游 , 就报销来回机票 , 这样肯定可以吸引更多的中国人去那里做美容。用机票的钱换来更多的中国人消费。 免费就是好啊！       今天是 10 月 6 日 , 乔帮主逝世一周年纪念日。 我的第二篇微博转发了一个关于苹果质量问题的报道 , 感慨神没了 , 神话就没了。 而今天的一个热点新闻是关于某个工厂的**与这苹果手机有掉漆的质量问题相关，随后的新闻又是官方否认这一消息。     孰真孰假的世界里 , 我们相信什么不相信什么？ 神马都是浮云 , 我将继续选择幸福地生活。 幸福是一种选择？！   如果这几天有央视的镜头对着我，问我幸福吗，我一定不会幽默地说我姓汪 , 我会说我幸福，因为共**的国家每年都有长假啊。我从来不选择在长假去看人海 , 非常熟悉我的朋友会问我这个长假写了什么好文章，因为他们知道，我过去的 “ 关于眼图 ” 等文章都是放长假写的。 这个长假里 , 我本想能写出 “ 关于抖动（下 )” ，但纠纠结结了半天 , 就是无法写下去。 于是我只好选择了翻译一篇关于抖动的文章，是为 “ 力科公司技术白皮书经典译丛系列之二 ” ，理解力科串行数据分析软件 SDAIII 中的抖动算法。 上个长假 , 春节期间我翻译了力科公司技术白皮书经典译丛系列之一 , 定量测量多通道串行数据系统中的串扰引起的抖动。   这种比较难以理解文章本身内容的翻译，没有长假 , 靠平时点滴的时间或者周末是搞不定的。       理解抖动算法对于使用示波器的朋友是一个 “ 选做题 ” ，因为这理解过程太难了 , 就象我们会用 FFT 就好了 , 不需要知道 FFT 的蝴蝶算法是怎么个复杂的过程。 我在长假前打印了这篇文章的英文，在回家的飞机上开始学习 , 每天翻译个几段 , 但直到现在我对里面的一些细节还是无法吃透。如果您有什么问题 , 欢迎来电来函交流。     理解眼图的关键是理解 PLL ，理解传递函数，理解抖动算法的关键是理解数学中卷积的物理意义。我刚搜索到一个关于卷积的文章，很有点意思，谨与您分享：       谈起卷积分当然要先说说冲击函数 —- 这个倒立的小蝌蚪，卷积其实就是为它诞生的。 ” 冲击函数 ” 是狄拉克为了解决一些瞬间作用的物理现象而提出的符号。 古人曰： ” 说一堆大道理不如举一个好例子 ” ，冲量这一物理现象很能说明 ” 冲击函数 ” 。在 t 时间内对一物体作用 F 的力，我们可以让作用时间 t 很小，作用力 F 很大，但让 Ft 的乘积不变，即冲量不变。于是在用 t 做横坐标、 F 做纵坐标的坐标系中，就如同一个面积不变的长方形，底边被挤的窄窄的，高度被挤的高高的，在数学中它可以被挤到无限高，但即使它无限瘦、无限高、但它仍然保持面积不变（它没有被挤没！），为了证实它的存在，可以对它进行积分，积分就是求面积嘛！于是 ” 卷积 ” 这个数学怪物就这样诞生了。说它是数学怪物是因为追求完美的数学家始终在头脑中转不过来弯，一个能瘦到无限小的家伙，竟能在积分中占有一席之地，必须将这个细高挑清除数学界。但物理学家、工程师们确非常喜欢它，因为它解决了很多当时数学家解决不了的实际问题。最终追求完美的数学家终于想通了，数学是来源于实际的，并最终服务于实际才是真。于是，他们为它量身定做了一套运作规律。于是，妈呀！你我都感觉眩晕的卷积分产生了。 例子： 有一个七品县令，喜欢用打板子来惩戒那些市井无赖，而且有个惯例：如果没犯大罪，只打一板，释放回家，以示爱民如子。 有一个无赖，想出人头地却没啥指望，心想：既然扬不了善名，出恶名也成啊。怎么出恶名？炒作呗！怎么炒作？找名人呀！他自然想到了他的行政长官 —— 县令。 无赖于是光天化日之下，站在县衙门前撒了一泡尿，后果是可想而知地，自然被请进大堂挨了一板子，然后昂首挺胸回家，躺了一天，嘿！身上啥事也没有！第二天如法炮制，全然不顾行政长管的仁慈和衙门的体面，第三天、第四天 …… 每天去县衙门领一个板子回来，还喜气洋洋地，坚持一个月之久！这无赖的名气已经和衙门口的臭气一样，传遍八方了！ 县令大人噤着鼻子，呆呆地盯着案子上的惊堂木，拧着眉头思考一个问题：这三十个大板子怎么不好使捏？ …… 想当初，本老爷金榜题名时，数学可是得了满分，今天好歹要解决这个问题： —— 人（系统！）挨板子（脉冲！）以后，会有什么表现（输出！）？ —— 费话，疼呗！ —— 我问的是：会有什么表现？ —— 看疼到啥程度。像这无赖的体格，每天挨一个板子啥事都不会有，连哼一下都不可能，你也看到他那得意洋洋的嘴脸了（输出 0 ）；如果一次连揍他十个板子，他可能会皱皱眉头，咬咬牙，硬挺着不哼 （输出 1 ）；揍到二十个板子，他会疼得脸部扭曲，象猪似地哼哼（输出 3 ）；揍到三十个板子，他可能会象驴似地嚎叫，一把鼻涕一把泪地求你饶他一命（输出 5 ）；揍到四十个板子，他会大小便失禁，勉 强哼出声来（输出 1 ）；揍到五十个板子，他连哼一下都不可能（输出 0 ） —— 死啦！ 县令铺开坐标纸，以打板子的个数作为 X 轴，以哼哼的程度（输出）为 Y 轴，绘制了一条曲线： —— 呜呼呀！这曲线象一座高山，弄不懂弄不懂。为啥那个无赖连挨了三十天大板却不喊绕命呀？ —— 呵呵，你打一次的时间间隔（ Δτ=24 小时）太长了，所以那个无赖承受的痛苦程度一天一利索，没有叠加，始终是一个常数；如果缩短打板子的时间间隔（建议 Δτ=0.5 秒），那他的痛苦程度可就迅速叠加了；等到这无赖挨三十个大板（ t=30 ）时，痛苦程度达到了他能喊叫的极限，会收到最好的惩戒效果，再多打就显示不出您的仁慈了。 —— 还是不太明白，时间间隔小，为什么痛苦程度会叠加呢？ —— 这与人（线性时不变系统）对板子（脉冲、输入、激励）的响应有关。什么是响应？人挨一个板子后，疼痛的感觉会在一天（假设的，因人而异）内慢慢消失（衰减），而不可能突然消失。这样一来，只要打板子的时间间隔很小，每一个板子引起的疼痛都来不及完全衰减，都会对最终的痛苦程度有不同的贡献： t 个大板子造成的痛苦程度 =Σ( 第 τ 个大板子引起的痛苦 * 衰减系数 ) 数学表达为： y(t)=∫T(τ)H(t-τ) —— 拿人的痛苦来说卷积的事，太残忍了。除了人以外，其他事物也符合这条规律吗？ —— 呵呵，县令大人毕竟仁慈。其实除人之外，很多事情也遵循此道。好好想一想，铁丝为什么弯曲一次不折，快速弯曲多次却会轻易折掉呢？ —— 恩，一时还弄不清，容本官慢慢想来 —— 但有一点是明确地 —— 来人啊，将撒尿的那个无赖抓来，狠打 40 大板！ 卷积及拉普拉斯变换的通俗解释 – 对于我这类没学过信号系统的人来说太需要了 卷积 (convolution, 另一个通用名称是德文的 Faltung) 的名称由来，是在于当初定义它时，定义成 integ(f1(v)*f2(t-v))dv ，积分区间在 0 到 t 之间。举个简单的例子，大家可以看到，为什么叫 ” 卷积 ” 了。比方说在 (0 ， 100) 间积分，用简单的辛普生积分公式，积分区间分成 100 等分，那么看到的是 f1(0) 和 f2(100) 相乘， f1(1) 和 f2(99) 相乘， f1(2) 和 f2 (98) 相乘， ……… 等等等等，就象是在坐标轴上回卷一样。所以人们就叫它 ” 回卷积分 ” ，或者 ” 卷积 ” 了。 为了理解 ” 卷积 ” 的物理意义，不妨将那个问题 ” 相当于它的时域的信号与系统的单位脉冲响应的卷积 ” 略作变化。这个变化纯粹是为了方便表达和理解，不影响任何其它方面。将这个问题表述成这样一个问题：一个信号通过一个系统，系统的响应是频率响应或波谱响应，且看如何理解卷积的物理意义。 假设信号函数为 f, 响应函数为 g 。 f 不仅是时间的函数 ( 信号时有时无 ) ，还是频率的函数 ( 就算在某一固定时刻，还有的地方大有的地方小 ) ； g 也是时间的函数 ( 有时候有反应，有时候没反应 ) ，同时也是频率的函数 ( 不同的波长其响应程度不一样 ) 。那我们要看某一时刻 t 的响应信号，该怎么办呢？ 这就需要卷积了。 要看某一时刻 t 的响应信号，自然是看下面两点： 1 。你信号来的时候正赶上人家 ” 系统 ” 的响应时间段吗？ 2 。就算赶上系统响应时间段，响应有多少？ 响 应不响应主要是看 f 和 g 两个函数有没有交叠；响应强度的大小不仅取决于所给的信号的强弱，还取决于在某频率处对单位强度响应率。响应强度是信号强弱和对单位强度信号响应率的乘积。 ” 交叠 ” 体现在 f(t1) 和 g(t-t1) 上， g 之所以是 ”(t-t1)” 就是看两个函数错开多少。 由于 f 和 g 两个函数都有一定的带宽分布 ( 假若不用开头提到的 ” 表述变化 ” 就是都有一定的时间带宽分布 ) ，这个信号响应是在一定 ” 范围 ” 内广泛响应的。算总的响应信号，当然要把所有可能的响应加起来，实际上就是对所有可能 t1 积分了。积分范围虽然一般在负无穷到正无穷之间；但在没有信号或者没有响应的地方，积也是白积，结果是 0 ，所以往往积分范围可以缩减。 这就是卷积及其物理意义啊。并成一句话来说，就是看一个时有时无 ( 当然作为特例也可以永恒存在 ) 的信号，跟一个响应函数在某一时刻有多大交叠。