在第二部分中，我们看到涉及时间的卷积，其中数字序列的索引是时间索引，以及所涉及函数的自变量。像往常一样，我使用网络上的公共材料。
我们只考虑 线性系统，但它们也是 时不变的 或 （LTI = 线性时不变），即不随时间改变其行为。
我们特别关注那些提供 输入函数 x(t) 和 输出函数 y(t) 的LTI 系统 ，这些函数通过所谓的 传递函数 = 输出函数 / 输入函数链接在一起。原则上，传递函数可以用多种方式表示。
时间函数的传递函数定义为 脉冲响应 (RI) ， 通常写作 h(t) = 输入产生的输出 x(t) = 单位脉冲。一般响应 y(t)，即输出，原来是 输入和 RI 之间的卷积，写为 y(t) = x(t)*h(t)。
奇怪的糕点店作为简单直观的演示，让我们考虑一个在网络上找到的有点奇怪的示例 ( https://www.youtube.com/watch?v=aEGboJxmq-w )。假设我们知道一家 面包店以自己的方式出售曲奇，那就是：如果你有一天给她一美元，她第二天会给 你送 一块 曲奇，然后在第三天送另一块 曲奇。换句话说，糕点店遵循自己的程序（schedule）：可能如下：
实际上，这个过程 并不像从图中看起来那样与一周中的特定日子相关联 ，而是一般性的。然后让我们将它安排在时间轴上，其中 突出显示三个序列作为 每天发生的 时间的函数，在例如 10 天的跨度内：
d(t) [ dollars ] 以美元为单位的每日输入
c(t) [ cookies ] cookie 数量的每日输出
b(t) [ bakery ] 输入和输出之间的链接，典型的每个面包店，当输入 = 1 时，我们可以称之为“脉冲响应”：因此，最初，c(t) = b(t)。
但不仅仅是最初，因为每当 d(t) = 1 时，答案 c(t) 总是 = b(t)
如果我们假设糕点店不会随时间 改变“政策”，我们就会发现自己处于LTI 情况
因此，如果在输入中我有两个数字中指示的美元，则在输出中 cookie 也将是指示的那些，因为它们 只是相加。
另一家糕点店现在我们决定去 另一家糕点店，它有 不同的政策，由其 RI描述 ，即由其 b(t) 描述。这些图显示了 3 种输出情况对应于同样多的输入情况，仅由 b(t) 确定。
一点点数学是不可避免的
在这种情况下，输入和输出之间的数学联系是什么？由于我们处理的是 时间上的线性运算，因此可以将它们转化为 以“ t ”为单位的线性方程组，这些方程由多项式组成 ，其次数随着随后每一天的增加而增加，方程和未知数与天数一样多正在考虑。
然而，更通用和更有用的方法是使用向量和矩阵。像往常一样，我们在这里处理数学概念时没有要求它们具有数学严谨性，因为我们感兴趣的是该主题的直觉方面。
3 个序列 c(t)、b(t)、d(t) 可以用向量表示 。在下面的示例中，c(t) 和 d(t) 跨越 7 天，即它们是 7-component vectors。
脉冲响应是一个包含 4 个分量的向量，这意味着其余分量的值 = 0。
为了阐明所寻求的链接，让我们一步步进行。
如果 d(t) 是一个“ 单一脉冲”，即第一天只有 1 美元，c(t) 会回复 b(t)，然后根据需要添加尽可能多的零来填充向量 b(t) 的分量。
如果孤立的美元进入 第二天，饼干也是如此；c(t) 包含 b(t)，但移动了一天，因此它的向量有两个初始零点和两个最终零点，并沿着前一个向量 b(t) 开始填充将成为矩阵的内容。
如果每天移动孤立的美元，也会发生同样的情况。
在某些时候，我们达到了最终情况，在这种情况下，我们填充了矩阵 ，该矩阵将简单地乘以向量 d(t)（我们需要记住如何乘以矩阵...）：
查看 矩阵，可以看到占据 矩阵 列的连续脉冲响应 b(t) 如何 随着时间的推移从左到右向下移动。但我们也看到 同样的 事情 发生在 矩阵的行上：
还可以看出序列 b(t) 如何在矩阵中“反转”，相对于开始时定义的脉冲响应 b(t)。
想概括一下，报告向量和矩阵中根据时间索引排列的值很方便：
实际上图中表示的是 矩阵的乘积 （第二个矩阵仅由单列组成，即它是一个向量）， 目前 也用于表示 线性方程组的模态。
矩阵的乘积要求第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相同（在本例中只有一列）。结果是一个矩阵，其中 第i 行和第 j 列的每一项是 每 行 i 和每 列 j的点积 （这里只有 j=1）。
在检查的情况下，矩阵中的时间从左到右 ， 从上到下流动，但我们立即看到表达式 b(- (tt)) 是不可接受的。时间永远是时间，但是这里我们要区分流逝的时间和已经流逝的时间，把它当作 另一种时间来对待。
这是通过调用τ 从左到右“流动”的时间来完成的，即 与单个事件的记忆相关的 时间从上到下它仍然被称为t。实际上，在每个时刻 t，输出值是通过滑动时间 τ来计算的。
回想 糕点店，我们看到它给我们的糖果不仅是当天支付的结果，而且还包括之前支付的结果，因为糕点店的政策是长期有效的随着时间的推移，需要“系统内存”。
因此我们得到了一个 非常简洁的写作，它突出了点积作为矩阵乘积的一个特殊情况（假设结果只有一列）。
显式标量积：
c(0) = d(0)b(0)
c(1) = d(0)b(1)+d(1)b(0)
c(2) = d(0)b(2)+d(1)b(1)+ d(2)b(0)
c(3) = d(0)b(3)+d(1)b(2)+ d(2)b(1) + d(3)b(0)
c(4) = d(0)b(4)+d(1)b(3)+ d(2)b(2) + d(3)b(1)+ d(4)b(0)
c(5) = d(0)b(5)+d(1)b(4)+ d(2)b(3) + d(3)b(2)+ d(4)b(1)+ d(5)b(0)
c(6) = d(0)b(6)+d(1)b(5)+ d(2)b(4) + d(3)b(3)+ d(4)b(2)+ d(5)b(1)+ d(6)b(0)
因此我们得出了离散卷积 的最终公式 。当序列被 连续函数代替时，求和自然转化为积分。
奇怪的疑问
看着上图，在求和到积分的过程中，我产生了一个奇怪的数学疑惑，一个从来没有勇气表达出来的疑惑；毕竟，作者不是数学家，而是工程师。要点如下。当我们从求和到积分时，我们将函数乘以它的微分：因此我们“添加”了一个乘法项。然而，通过将积分应用于物理情况，每一项都有自己的量纲（米、秒、伏特……），因此量纲计数不会相加，并且会出现差异。但并不总是想到要整合的功能，当应用于物理学时，必须是“密度”类型，
如果我们考虑将总和的每一项隐式乘以 1（即“一天”），则差异将得到解决，因为“密度”是“饼干数量/天”。如果你想用积分来写所有东西，那么单个值而不仅仅是函数可以写在积分符号下，通过将它们乘以 delta ...
电气系统LTI 系统的传递函数 ，尤其是那些涉及电气系统（但不仅限于）的传递函数不是在时域中给出，而是 在复频域中给出 s = σ +jω = s +j2πf 即 h(t) 被拉普拉斯变换为H(s)，就像 x(t) 和 y(t) 变成 X(s) 和 Y(s) 一样。值得注意的事实是 Y(s) = X(s)H(s)，很容易证明。通过这种方式，我们从卷积传递到乘积，可怜的工程师的计算变得容易得多，特别是考虑到进一步简化来自 dB 的使用。
然而，为了更好地理解时域中发生的情况，让我们看看 y(t) 发生了什么，即时域中的输出。
在电气工程和电信中，我们对处理电能的系统感兴趣，这些电能在输入端提供，存储在电容器和电感器中，如果不在系统内消耗，几乎总是一点一点地“呈现”在输出端，有一定的延迟，这一特性自然取决于系统本身的组成。
正是这种记忆在输出中产生了“拖网”，要考虑到这一点，有必要使用 卷积。
系统是 LTI 的事实保证了无论输入函数是什么我们都能够预测输出函数，只要我们知道传递函数 h(t)。
为了找到脉冲响应，我们将脉冲定义为 单位面积的矩形信号，其中矩形的高度在电气情况下对应于电压或电流，而底部是时间间隔 Δt ，在函数的情况下输入继续，成为无穷小 dt。
这样一个 无穷小的脉冲由δ(t)表示 ，其对向区域从 -∞ 到 +∞ 积分为 = 1（δ(t) 不是一个正确的函数，但在积分中它表现得好像它是）。
要计算对任何输入函数 x(t) 的响应，诀窍是首先将 x (t) 视为间隔为 dt 的许多连续脉冲的总和，每个单位面积乘以 x(t) 的值每一点。
每个脉冲都会产生一个 时间响应 （在阻尼指数类型的图中，例如通过 RC 的电流）h(t)，它加起来与其他脉冲的响应相加。随着时间的流逝，要添加的答案会增加：在每个连续的时刻，新答案的开始会增加总和（以代数方式）。也就是说，在每个新的时刻，必须添加所有先前的答案，因此 函数 h(t) 的水平反转，这在前面的图中尚未显示。同样，y(t) 未显示为连续脉冲响应的总和，而是以图形方式交错显示以便更清晰。
输出y(t) 结果是 x(t) 与 h(t) 的卷积。
为了更好地理解它，我现在使用对我来说似乎足够清楚的解释（参见： http ://www.iaincollings.com ）。
卷积的三角洲我们从输入 = δ(t) 和指数 h(t) 之间的卷积开始。δ(t) 在时刻 t = 4 时用放置在时间轴上的垂直箭头以图形方式表示，以固定想法。
为方便起见，作者对变量进行了两次更改：δ(t) 变为 δ(τ)，h(t) 变为 h(α)。不管怎样，他说，它们只是即使在变量发生变化时也能保持其形状的函数。
现在他必须在积分下绘制两个函数的乘积，他通过在公式下追踪其他轴来实现：他询问 τ 的哪个值对应于 h(0)，他回答说 h(t-τ)该值出现在 t -τ = 0 时，即 -τ = t，然后在垂直轴左侧的 τ 轴上绘制 h(0) 值，因为 τ 为负。
然后他继续确定值 h(1)，对于 t-τ=1，即 -τ= t+1，必须将其置于 tau 轴上，因此可以倒转绘制 h(-τ)。
此时他可以画出 y(t)。首先绘制h(t-τ)的图形，定位为t-τ=0即τ=4，其中h(t-τ)= h(0)。随着 τ 的增加，图形向右移动。x(t) 是以 t=4 为中心的 δ(t)，即 δ(t-4)，因此对于 t=4，乘积 x(t)h(t-τ) 的积分为 h(0 ) 。随着 t 的增加，h(t-τ) 的值减小，因此乘积积分 x(t)h(t-τ) 也减小。最终， delta(tk) 与函数 h(t) 的卷积 产生 h(t) 的右移，变为 h(tk)。
现在我们可以仔细看看 两个连续函数的卷积。
举个例子，其中x(t)由三个delta组成：δ(t)、δ(t-1)、δ(t-2)，其中h(t)是图中的指数。作者把这三个δ(t)写成x(0),x(1),x(2)。第三张图表示 t 变化时三个乘积 x(t)h(t) 的总和。
对于 t 的通用值，总和为 x(2)h(t-2) + x(1)h(t-1) + x(0)h(t)。
如果我们对从时刻 τ 开始的三个 δ(t) 添加四分之一，即 δ(t-τ)，则乘积 x(τ)h(t-τ) 将添加到前三个乘积的总和中。
如果 x(t) 是一般的连续函数，它可以被认为是无限单位脉冲的总和，在积分符号下，变为 δ(t)，表示为 δ(t-τ)，其中 τ 建立向右δ(t) 的偏移。
无限数之和δ(t)可以用图中的积分表示，无非是连续函数的卷积公式。
作为上文的进一步说明，下图显示了一个通用函数 x(t) 被认为是无穷大 δ(t) 之和与具有三角形形状的 h(t) 之间的卷积示例。
最后， 让我们回到两个统计上独立的随机变量之和的概率密度 （pdf = Probability Density Function），这在之前关于卷积的文章中提到了掷两个骰子。
通信系统的典型 pdf 是Y = X + N ，即 信号x(t) + 高斯噪声n(t)，它们在信道中相加并且在统计上是独立的。因此，信号和噪声的和 y(t) 是两个函数的卷积：
y(t) = x(t)*y(t)。
结论
我试图以一种简单、“可见”的方式来说明卷积的概念。如果我没有成功，我邀请读者在评论中向我提问，我会尽一切努力回答。当然，关于它的特性和应用还有很多话要说。例如，已经提到两个函数 f*g 的卷积结果 = L(f)L(g) = F(f)F(g) 即拉普拉斯和傅里叶的两个变换的乘积，整个论述关于卷积和变换之间的联系，特别是 FFT，我们不能在这里做，我们可能会参考后续文章。
来源：电子资料库
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