标签: 状态方程

弹簧阻尼振荡器是一个相对简单的例子，它默认给定一个初始位置后，不再施加外力。 拉到一个点，然后弹啊弹啊弹…… 但是实际上有可能系统会被施加持续的外力，因此需要考虑更复杂的情形。 先来定义三个变量： 控制量ui，这个是已知且可控的变量。 状态量xi，通常情况下它无法被直接测量，或者说需要最优估计解的正是它。 输出量zi，也被称为观察量，从传感器得来，通常是对某些xi的观测值。 拿弹簧阻尼振荡器来说，ui是施加到负载质心上的外力，xi是我们需要最优估计的负载质心位置。 如果我们拿传感器测量负载质心的位置，那么zi就是这里的观测值。 引入这三个变量之后，我们可以将状态空间表达式扩展： x(t)是n*1矩阵，F(t)是n*n矩阵，C(t)是n*r矩阵，u(t)是r*1矩阵。 C(t)u(t)被称为微分方程的非齐次部分，因为它和xi无关。 在实际的物理过程中，这三个变量足够了么？ 实际上我们可以再引入一个变量w，表示随机扰动。 比如在一个安装有温度控制器的房间，有如下热力学方程： kc取决于房间的热绝缘系数，To指室外温度，kh指温度控制器的功率系数。 u表示控制量，这里可以简化成0为关掉，1为开启。 To可以观测且不可预知，可以把它当作一个随机过程，使用w表示。 上面的热力学方程可以写成如下形式： 方法很简单，过程略。 我们现在知道了xi、ui和zi表示的含义，也知道了怎么使用物理规律建立一阶微分方程组。 除了此F(t)表示的一阶微分方程组外，我们还需要另外一个方程组： 此处： 其中，z(t)被称为测量矩阵或输出矩阵。 H(t)表征传感器的灵敏度，称为测量灵敏度矩阵。 D(t)是输入输出耦合矩阵。 结论： 两个方程组，一个包含F(t)、C(t)、W(t)，由实际物理规律得来；一个包含H(t)、D(t)，表征传感器测量方式。 如果这两个方程组建立不起来，卡尔曼滤波的实现也就无从谈起。