原创 不知道究竟为什么要学习数学？

作者：周立功


我们从小学一年级就开始学习数学，到大学、研究生阶段还在不断地学习数学。而学习数学就象年复一年陷入“黑洞”一样没有尽头，直到参加工作之后才从“苦海”中脱身，对于大多数人来说，这不啻为人生一大恶梦。一大堆抽象、难懂的概念、公式将是如何创造出来的？下面不妨以故事的形式与大家分享一下，你将会很容易理解和掌握，再也不用害怕了。微积分到底有什么用呢？导数的结果是斜率，可以分析变化，股票、汇率与摄影都会用到；而积分则是导数的逆运算，目的在于找出变化的规律，求出面积。

     1. 从少年到大学的烦恼

    数学不是为“享乐”而发明的，或许痴迷于数学不思茶饭的人能在函数与数学公司中感受到乐趣，但是这样人少之又少。其实，公式、函数、计算方法等都是为了解决“是什么”之类的问题而创造出来的，这一点与花样滑冰很相似——为了得到高分而不断地创新。

    但是，为什么花样滑冰的跳跃会容易被人们关注，而数学，特别是是导数与积分却被人们排斥呢？因为究竟为什么要学习数学，确实是一个难题。花样滑冰的技术不断地创新是因为“技术难度越高得分越高，视觉效果越美”，所以才被人们关注。但是，数学、微积分又如何呢？人们会怀疑“学会它们有什么用呢？”

    这种想法本身就说明数学的存在意义和价值尚未被人们理解，而这些想法学校的老师也无法告诉我们。学习数学其实是一件非常枯燥的事情，与此同时，小孩子们练习打鼓、钢琴虽然也没有乐趣，但它们都有明确的近期目标，这一点与数学完全不同。

    如果做一件事情不明白“为什么要做”，则很难令人鼓起干劲。下面我们将讨论“为什么要学习导数？”

    没有什么比做无用功更让人痛苦的事情，人们不会长期坚持做目标不明确的事情，在学校学习数学时，我们基本上不知道它的“目的”和“用处”，“背公式好烦”，“好像与日常生活无关”，“数学究竟什么时候有用？大多数人都是被迫学习而已。数学好像是为那些有能力的人发明的。”

    很多人排斥数学很有一大理由，就是数学公式太多，必须死记硬背。其实数学公式不需要死记硬背的，它是推导出来的，因此，我们的目标是——尽可能不死记硬背。不得不背时，也要先理解后记忆。

    2.导数有什么用？

    导数为什么会存在？当然有它的意义。简而言之，导数是用来分析变化的。

    以直线函数为例，求导后会得到斜率。请想一想，直线上的一点是如何向另一点变化的呢？就是通过倾斜度的“缓”与“急”来表现的。对直线函数求导会得到直线的斜率，对曲线函数求导能得到各点的斜率。

    我们不妨想象一下，如果将曲线用放大镜观察的话，我们可以将它看成“微小变化”的集合。我们在打游戏时，如果将手柄操纵杆的运动方向汇集起来，就会形成曲线。

    由此可见，导数是用来分析“变化”的工具。可是，老师们从来不告诉学生“导数的广泛应用”，这是一件非常遗憾的事情。

     3. 某一点的斜率与瞬间斜率

    如果以数学思维来思考的话，函数图形中的曲线就相当于过山车轨道，图形上的“点”就是飞驰在轨道上的过山车。如果我们将过山车在曲线各点上的运动趋势描绘出来，则会发现它们都朝着各自不同的方向前进，只是不知道图形上点的移动速度而已。

    从数学角度考虑点在曲线上的移动，会将该点在下一个瞬间发生的变化称为“瞬间斜率”。也就是说，瞬间斜率就是曲线上各点的斜率。而数学上在设定斜率时都是取两个点，这与“某一点的斜率”有矛盾，因此不妨使用“瞬间斜率”这个概念来描述。

    其实导数是从物理学和天文学这类研究物体运动的学科发展而来的，这些领域中，“瞬间”或许是十分平常的现象。但针对没有运动概念的数学曲线图形谈“瞬间”，可能很难理解。因此，我们不妨用“某一点的斜率”来代替“瞬间斜率”，可能会更好理解。已经习惯使用瞬间斜率的朋友，请转换一下概念，“某一点的斜率=瞬间斜率”，初次接触导数的读者也请记住“瞬间斜率”是常用的说法。

    虽然用普通的方法很难求某一点的斜率，但用导数则能轻松地求出，请牢记这一点。如果轨道瞬间消失了，那么急驰的过山车将会怎样？肯定会象直线一样飞出去，此时过山车飞出的方向就是“曲线的切线”方向。因此，“瞬间斜率”或“某一点的斜率”也可用于求切线的斜率。   

    4. 曲线的高峰——卡拉OK

    斜率不是数学特有的术语，它用于表示倾斜的程度。但倾斜的角度越高接近90度，则倾斜度越大。也就是说，此时图形的上升趋势越强。我们不妨回忆一下在唱歌的情景，你有一首擅长的歌曲，你想尽可能在最佳的时机展现出来让自己成为主角，请问：这个最佳的时机是什么时候呢？我们可以将现场气氛的热烈程度画成曲线图形，肯定是曲线上升趋势最强时演唱你最擅长的歌，一定会获得最佳的效果，这是就是最佳时机。

    究竟曲线上升趋势何时最强呢？通过观察图形可以找到一个大致的部位，但很难找到具体哪一点最好。那么，是否存在这样的方法——不依靠眼睛观察图形来寻找，而是通过计算，求出曲线上各点瞬间的趋势呢？

    其实，这就是导数。如果你能灵活运用导数，你将有可能成为卡拉OK的主角。