原创 数字电子技术之逻辑数学基础

BCD(Binary Coded Decimal),就是用4位二进制数码表示1位十进制数的0~9这十个状态。

余3码⁽¹⁾，就是10进制数+3转换成的4位二进制数，如果两个十进制数相加的等于10，二进制正好等于16，高位自动产生进位信号。此外0和9、1和8、2和7、3和6、4和5的余3码互为补码（2421码中也是），这对求取对10的补码是很方便的。 余3码不是恒权代码（2421码为恒权码）。

5211码，一种恒权代码，计数器分频作用后可以发现，如果按8421接成十进制计数器，则连续输入计数脉冲时4个触发器输出的脉冲队于计数脉冲的分频比从低到高一尺为5：2：1：1，5211码每一位的权正好与8421码的十进制计数器4个触发器的输出脉冲的分频比相对应，这种对应关系在构成某些数字系统时很有用⁽²⁾。

余3循环码，是一种变权码，每一位的1不代表固定的值，它主要特点是相邻的两个代码之间仅有一位状态不同。因此，按余3循环码接成的计数器，每次状态转换过程中只有一个触发器翻转，译码不会产生竞争冒险现象⁽³⁾。

算术运算

在数字电子中,二进制的正、负分别是用0、1表示的，在定点运算⁽⁴⁾情况下，以最高位为符号位。

注：在给定的直角坐标系上，坐标全是整数的点，叫做整点；全部整点构成的组就叫做空间格网。在空间网格里的运算称为定点运算。除定点运算外的当然就是浮点运算。

为简化电路，二进制的减法运算，是用补码相加；乘法是用加法和移位；除法是末尾添零减法和移位来实现的。

逻辑运算

与，或，非，与非，或非，与或非；--与为有0则0，或为有1则1。

同或，异或。  --“或”可以理解为为1；同或异或互为反运算。

基本公式⁽⁵⁾

也叫布尔恒等式，包括包括分配律、反演律等。

若干常用公式... ...

逻辑代数的基本定理

带入定理，用一个逻辑式代替等式中所有同一个变量，等式仍然成立。

反演定理，与或互换，原反互换，结果为原来结果的取反。

--注：1.仍要注意先括号再乘，最后加的优先次次序。

          2.不属于单个变量上的反号要保留不变。

对偶定理，所谓对偶，就是把逻辑式中与、或互换，0、1互换（注意，不是逻辑式取反。），如果两逻辑式相等，那么他们的对偶式也相等。

从真值表写出逻辑函数式的一般方法

逻辑函数的标准形式，最小项之和、最大项之积。

最小项，所有变量（或其反变量）都在一个乘积项中出现一次。

最大项，所有变量（或其反变量）都在和式中出现一次。

逻辑函数的化简方法

最简形式 ，在逻辑式中，乘积项最少，乘积项中的因子也最少。

卡诺图，将n变量的全部最小项用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性⁽⁶⁾ 若两个最小项只有一个因子不同，则称他们有逻辑相邻性）的最小项在几何位置上也相邻的排列起来的图形。

用卡诺图化简的步骤：

注：也可以合并0求出Y反再把Y反求反得到Y，因为所有的最小项之和为1，Y与Y反之和也为一，Y为添1那部分最小项的和，所以Y反一定就是添0那部分最小项的和了。

具有无关项的逻辑函数以及其化简

约束项、任意项和无关项

约束项：由于某些实际原因，自变量取值的某些组合在正常情况下不可能出现，这些组合对应的最小项称为约束项。

    约束项的性质：每个最小项只有一组取值使它等于 1 ，而对约束项来说，使它等于 1 的这组取值不可能出现。因此约束项恒等于零。

    约束项可用以下式子来表示：

反过来，如果某一最小项恒等于0 ，则该最小项就是约束项。

    根据约束项恒等于 0 的性质，我们在逻辑函数表达式中既可以写上约束项，也可以不写上约束项，如 反映在真值表上，约束项对应的输出既可以是1 也可以是0 ，一般用“×”表示。

 电路输入的变量的某些组合值对输出没有影响，为任意项。

    无关项（ Don't Care Team ）：约束项和任意项的总称，用 d 表示。

多输出化简的时候要把多个输出按照一个整体来考虑，以整体最简为目标，即整体上乘积项最少。

疑问：