原创 传输线理论知识

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第一章           传输线理论

一　传输线原理

二　微带传输线

三　微带传输线之不连续分析

第二章           被动组件之电感设计与分析

一　电感原理

二　电感结构与分析

三　电感设计与模拟

四　电感分析与量测

第一章 传输线理论

       传输线理论与传统电路学之最大不同，主要在于组件之尺寸与传导电波之波长的比值。当组件尺寸远小于传输线之电波波长时，传统的电路学理论才可以使用，一般以传输波长（Guide wavelength）的二十分之ㄧ（λ/20）为最大尺寸，称为集总组件（Lumped elements）；反之，若组件的尺寸接近传输波长，由于组件上不同位置之电压或电流的大小与相位均可能不相同，因而称为散布式组件（Distributed elements）。

       由于通讯应用的频率越来越高，相对的传输波长也越来越小，要使电路之设计完全由集总组件所构成变得越来越难以实现，因此，运用散布式组件设计电路也成为无法避免的选择。

       当然，科技的进步已经使得集总组件的制作变得越来越小，例如运用半导体制程、高介电材质之低温共烧陶瓷（LTCC）、微机电（MicroElectroMechanical Systems, MEMS）等技术制作集总组件，然而，其中电路之分析与设计能不乏运用到散布式传输线的理论，如微带线（Microstrip Lines）、夹心带线（Strip Lines）等的理论。

因此，本章以讨论散布式传输线的理论开始，进而以微带传输线为例介绍其理论与公式，并讨论微带传输线之各种不连续之电路，以作为后续章节之被动组件的运用。

一、传输线原理

传输线之电路表示方式一般以两条等长的导线表示，如图1.1(a)。其中一小段长度为Δz的传输线，可以用1.1(b)的集总组件电路模型描述，其中

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(a)

(b)

图1.1  传输线之等效电路图

      R=两导体中单位长度的串联电阻，单位Ω/m。

      L=两导体中单位长度的串联电感，单位H/m。

      G=两导体中单位长度的并联电导，单位S/m。

      R=两导体中单位长度的并联电容，单位F/m。

图1.1(b)中，由柯希荷夫电压定律可得

                                             (<?xml:namespace prefix = st1 ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:smarttags" />1.1a)

图1.1(b)中，由柯希荷夫电压定律可得

                                 (1.1b)

将(1.1a)与(1.1b)除以Δz，并取Δz→0的极限，可得到以下之微分方程式

                                                                             (1.2a)

                                                                          (1.2b)

此两式为时域的传输线方程式，或称为电报方程式。[1]

若以相位稳态表示，以上之电报方程式可以表示如下

                                                                                   (1.3a)

                                                                                 (1.3b)

结合(1.3a)与(1.3b)之联立微分方程式，可得传输线电压与电流之波动方程式

                                                                                           (1.4a)

                                                                                           (1.4b)

其中，

                                                                  (1.5)

是一个与频率有关的复传播常数。

(1.4a)与(1.4b)的电压与电流解为

                                                                                        (1.6a)

                                                                                           (1.6b)

为一组行进波，其中项表示往方向传播，项表示往方向传播。将(1.6a)代入(1.3a)，可得传输在线的电流波

                                                                          (1.7)

比较(1.6b)与(1.7)式，并定义传输线之特性阻抗，可得

                                                        (1.8)

将电压波之相位解表示回时域之数学式为

                        (1.9)

其中，传输线之波长为

                                                                                                               (1.10)

相位速度为

                                                                                                      (1.11)

(一) 有负载之传输线

当传输线接上负载如图1.2，在处利用(1.6a)与(1.6b)式，负载阻抗之电压与电流的关系为

                                                                                   (1.12)

图1.2  末端接负载之传输线

化简(1.12)为反射波电压振幅与入射波电压振幅的比值，并定义为反射系数

                                                                                             (1.13)

将(1.6a)与(1.6b)式改写成以反射系数表示，得到

                                                                                       (1.14a)

                                                                                      (1.14b)

利用以上之传输线接负载的公式，并将反射系数的观念应用在传输在线的任何一点，也就是在图1.2中处代入(1.14a)与(1.14b)，即为由往负载方向看进去之输入阻抗

                                               (1.15)

利用(1.13)式代入(1.15)式，可将输入阻抗改写成

                                                                     (1.16)

（注：）

(二) 无损之负载传输线

    对于有损耗之传输线而言，特性阻抗与传播常数均为复数。然而，在许多实际的情况，传输线的损耗性都很低，因此可以忽略不计，亦即，。如此，(1.16)式可以改写为更常用的公式

                                                           (1.17)

(三) 无损之特殊负载传输线的输入阻抗

    在许多微波领域的应用中，运用某些特殊负载（如短路或开路等）之传输线长可以被用来作为电路设计的一部份，例如阻抗匹配或是取代集总组件之电感电容等使用。

1)      负载短路：代入(1.17)式，得到

                                                                                                 (1.18)

2)      负载开路：代入(1.17)式，得到

                                                                                               (1.19)

3)      四分之ㄧ波长传输线：，代入(1.17)式，得到

                                                                                                           (1.20)

二、微带传输线

微带线（Microstrip Lines）传输线是近二十年来快速发展与广泛运用于微波与射频的传输线结构，由于其平面式结构易于和其它基频电路整合，因此使通讯应用变得大量普及。由于微带线等传输线的理论完整，再加上运用电磁理论的计算机辅助设计软件（Full wave simulators）功能日益强大，使得被动组件设计甚至主动电路设计在高频仿真变得精确且快速。

    本节将针对微带传输线的特性与公式做一个大略的介绍，作为后续章节以微带线为基础结构所设计之被动组件的参考。

(一) 微带线结构

    微带线的结构如图1.3所示。微带线主要包含上层的导体带线（宽度，厚度）与下层的导体平面，其中间夹着一层介电系数的绝缘层（厚度）。

图1.3  微带传输线的结构

    微带线的电磁波传递包含上层导体附近的空气部份与以及与下层导体之间的介电层，由于波传送在空气中与介质中的速度不一致，因此传输模式不属于完全的TEM模态，而是属于TE-TM的混合波。由于在空气与介质的波速不同，传波常数与特性阻抗分析也就变得复杂。

(二) 准TEM波的近似分析

    因为微带线的型态不属于TEM波，因此无法以纯TEM波的方式加以分析。所幸，在某些前提之下，例如介电层的厚度很小时（大多数的实际应用状况），电磁力线将很接近静电场，因此以近似静电场的方式分析也可以得到很好的相位速度、传波常数与特性阻抗。因此，微带线的波传递称为准TEM波。

    当微带线介质板的介电系数时，准TEM波的传播介电系数可以用表示，称为有效介电系数，且，而波的相位速度与传播常数可以表示为

                                                                                                         (1.21)

                                                                                                       (1.22)

其中，为光速，为波的角频率。

    理论上，微带线的有效介电系数与特性阻抗的计算公式取决于空气中的单位长度电容值与介电层的单位长度电容值，表示如下

                                                                                                             (1.23)

                                                                                                   (1.24)

    实际上，微带线的有效介电系数与特性阻抗与微带线的几何结构与材质有密切关系，相当多的文献讨论到有关的求算与分析[2]；而求算的方法基本上，是以准静电学分析加上数值方法近似所得到的公式。以下列举两个由Hammerstad分析求算的近似公式[3]：

与近似公式一：误差范围小于1%。

1)     

                                       (1.25)

                                                                         (1.26)

    其中，奥姆()代表真空中的波阻抗。

2)     

                                                                     (1.27)

                                             (1.28)

与近似公式二：误差范围小于0.2%。

                                                                         (1.29)

    其中，，且

                                             (1.30)

                                                                                     (1.31)

                                                                     (1.32)

    其中，，奥姆()代表真空中的波阻抗，且

                                                               (1.33)

(三) 微带线的损耗

    微带线的损耗，也就是传输线中传播常数中的实数部份包含导体损耗与介质损耗，。与的公式可以近似如下：

                                 Np/m dB/m                                   (1.34)

    其中，为导体的单位面积表面电阻。

                               dB/m                                 (1.35)

    其中，为介质的损耗正切值，为微带线的传播波长，为真空中的传播波长。

三、微带传输线之不连续分析

在高频的微带线应用中，由于电波波长与组件尺寸相当接近，若微带线的几何结构发生变化，例如开路、短路、步阶（steps）、间隙（gaps）或曲弯（bend）等，将使得特性阻抗改变而产生波传递的不连续现象，将造成波传递过程中发生不匹配（unmatched）的效应。如何将此类不连续现象加以分析使组件或电路的设计更加精确，一直是很多人研究的重点。

    基本上，所有的不连续微带线均可以近似分析为理想的电感与电容的等效电路。以下将针对微带线常见的各种不连续现象列出其等效电路与对应的理想组件值。

(一) 平行耦合线

耦合线在微波被动组件与主动电路的运用上相当广泛且实际，其基本结构如图1.4所示，为两条宽度W，间距s的并行线。

图1.4  微带耦合线的纵向剖面图

这类的耦合线结构会同时激发两组准TEM模态的电磁波，也就是偶模（even mode）与奇模（odd mode）。在偶模的激发模态下，两条微带线具有相同的电位或带有同样的电荷，例如像图1.5(a)均带正电，因而会在对称面上形成如图的磁墙（magnetic wall）；若是在奇模的激发模态下，两条微带线会具有相反的电位或带有相反的电荷，例如像图1.5(b)，因而在对称面上会形成如图的电墙（electric wall）。

一般而言，由于微带耦合线并非纯TEM波，基模与偶模的传输相速会不相同，表示其有效介电系数与特性阻抗也不相同。以下将针对偶模与奇模的特性阻抗与有效介电系数的公式加以说明。

偶模与奇模电容

如式(1.23)，(1.24)，微带线的有效介电系数与特性阻抗可由微带在线的等效电容（空气中的单位长度电容值与介电层的单位长度电容值）所求得。在此讨论的微带耦合线如图1.5，以表示偶模的介电层电容，以及以表示奇模的介电层电容可以表示如下：

                                                                                             (1.36)

                                                                                   (1.37)

(a)                                                      (b)

图1.5  微带耦合线的模态，(a)偶模 (b)奇模

其中，代表微带线与接地面的电容值，可由下式表示

                                                                                                   (1.38)

代表边缘电容，相当于单一微带线总电容扣除微带线与接地面的电容值

                                                                                     (1.39)

代表单一微带线因另一条耦合微带线而感应的边缘电容，依据经验公式

                                                                               (1.40)

其中，

                                                                   (1.41)

奇模的激发模态中，与分别代表空气中与介质中，两条耦合微带线间距的边缘电容，依据近似的经验公式

                               (1.42)

                                                                                                 (1.43)

其中，为两个椭圆函数的比值，其变量与表示如下：

                                                                                               (1.44)

                                                                                                       (1.45)

当的值在不同的范围，椭圆函数的比值如下：

                                                 (1.46)

当所有的电容值依据上列公式求得后，偶模与奇模的特性阻抗可以由以下公式求得：

                                                                                               (1.47)

                                                                                             (1.48)

其中，与分别代表上列所有公式中，以空气之介电系数（）所求算之偶模与奇模的所有电容值的和。

偶模与奇模的有效介电系数则由下列公式求得：

                                                                                                       (1.49)

                                                                                                       (1.50)

(二) 步阶微带线

步阶式阻抗（steps in width）微带线，以及其它如开路微带线、端点耦合微带线、弯角微带线等，常被运用在很多实际的高频电路中，近年来这一类的不连续传输线电路虽然已经可以透过全波电磁仿真（full-wave EM simulator）软件加以分析，然而，这些不连续微带线仍然有其近似分析法，适当的加以运用对于被动组件的等效电路模型建立有相当的帮助。

图1.6为一个对称形式的步阶微带线与其等效电路。其等效电容与等效电感可以由以下的近似公式来表示：

图1.6  步阶阻抗微带线与等效电路

         (pF)            (1.51)

                               ,                                   (1.52)

其中

                               (nH)

其中的电感，与，， 分别代表在不同宽度（阻抗）下的单位长度电感量，特性阻抗与有效介电系数。

(三) 开路微带线

图1.7为一个开路微带线与其等效电路。由于微带线端点的边缘电场效应，开路微带线也可以等效成一段长度为的延伸微带线。等效电容与等效的延伸微带线可以由以下的近似公式来表示：

图1.7  开路微带线与等效电路

                                                                                                     (1.53)

或                                                                                                   (1.54)

其中可由以下之经验公式近似：

                                                                                                     (1.55)

其中

(四) 端点耦合微带线

图1.8为一个端点耦合微带线与其等效电路。其等效电路包含两个并联电容与一个串联电容，电容值可以由以下的近似公式来表示：

图1.8  端点耦合微带线与等效电路

                                                                                                         (1.56)

                                                                                           (1.57)

其中，依据经验公式，, 与微带线宽度的比值可由以下公式求得：

其中，

(五) 弯角微带线

图1.9为一个弯角微带线与其等效电路。其等效电路包含两个串联电感与一个并联电容，各电感与电容值可以由以下的近似公式来表示：

图1.9  弯角微带线与等效电路

等效电容、电感与微带线宽度比值有关，其经验公式如下，

           (1.58)

                                                                         (1.59)

参考文献

[1]              

第二章 被动组件之电感设计与分析

随着高频微波在日常生活上的广泛应用，例如行动电话、无线个人计算机、无线网络等，高频电路的技术也日新月异。良好的高频电路设计的实现与改善，则建立在于精确的组件模型的基础上。被动组件如电感、滤波器等的电路模型与电路制作的材料、制程有紧密的关系，而建立这些组件等效电路模型的方法称为参数萃取。

早期的电感制作以金属绕线为主要的材料与技术，而近年来，由于高频与高速电路的应用日益广泛，加上电路设计趋向轻薄短小，电感制作的材质与技术也不断的进步。例如射频机体电路（RFIC）运用硅材质，微波集成电路则广泛的运用砷化镓（GaAs）技术；此外，在低成本的无线通讯射频应用上，如混合（Hybrid）集成电路则运用有机多芯片模块（MCMs）结合传统的玻璃基板制程，以及低温共烧陶瓷（LTCC）技术，制作印刷式平面电感等，以提升组件的质量与效能，并减少体积与成本。

本章的重点包涵探讨电感的原理与专有名词，以及以常见的电感结构，并分析影响电感效能的主要因素与其电路模型，最后将以电感的模拟设计为例，说明电感参数的萃取。

一、电感原理

在电路组件中，电感以及电容与电阻是所有电路最基本的组成元素。理想电感是一种会使电流与电压产生相位偏移的储能组件，其符号，电流、电压与储存能量的关系可以图2.1与以下的公式表示

图2.1 电感符号与电压电流表示法

                                      ,                                            (2.1a)

                                     ,                                           (2.1b)

                                                                                                         (2.1c)

其中，为时变电流的均方根植。

以下各小节将从电感最基本的原理开始介绍，并分别定义其专有名词以及相关定义的公式。

(一)    电感量

当一个封闭回路的电路中，由于磁场（）造成能量储存效应，可以由电流（）与磁通量（）的关系来表示电感量：

                                                                                              (2.2)

由于电感量的产生来自于回路本身的电流，因此也称为自感量（self-inductance）。

(二)    磁能

如同式(2.1c)，当电流为时，储存能量为

                                                                                                          (2.3)

(三)    互感量

当相互靠近的两导体有电流通过时，磁场也会相互作用。若通过的电流方向相反时会造成总电感量的下降，反之则会使电感量增加。个别电感因为周围导体电流造成，使本身电感量改变的值称之为互感。互感的求法可以由以下的公式求得：

                                                                                              (2.4)

其中, 为电流方向相同时两导体的电感量总和；而为电流方向相反时两导体的电感量总和。

若以表示个别电感的自感量，则个别电感的总电感量为

                                                                                (2.5)

(四)    有效电感量

当电感以芯片形式制作时，由于导体与导体之间或导体与接地之间会有杂散电容效应，其等效电路模型如图2.2。

图2.2 含杂散电容的电感等效电路

当电路操作在低频模态时，杂散电容的效应可以忽略不计；但是当应用在高频模态下，等效电路的阻抗则需考虑杂散电容如下式：

                                                                        (2.6)

改以有效电感的理想阻抗模式表示：

                                                                                                            (2.7)

将(2.6)与(2.7)作一比较，可得有效电感量为：

                                                                                                (2.8)

其中，称为并联谐振频率。

(五)    阻抗

电感阻抗定义为

                                                                                                    (2.9)

其中, , f 微操作频率。

(六)    时间常数

当电感L接上直流电压时，由于实际电感之非完全导体包含串联电阻量R，电感充电完成所需之时间称为时间常数，定义为：

                                                                                                                 (2.10)

(七)    自振频率

电感的自振频率（self-resonant frequency, SRF）定义为当电感阻抗的虚部为零时的频率。在此频率时，电感的电抗与寄生电容的电抗大小相等而正负相反；同时，电感阻抗的实部最大，超过此一频率时，电感将变成电容性。

(八)    质量因素

电感的效能与质量好坏以质量因素Q值来衡量。然而，针对不同的应用与技术，质量因素的定义有好几种[]，最一般且常用的质量因素定义，为每单位周期之储存能量与消耗能量的比值，

                                                                                                           (2.11)

在低频操作下，电感的电抗为电感性，Q值也可以阻抗值表示

                                                                                             (2.12)

其中，为电流的均方根值。

当电感的操作频率很高且接近其自振频率（SRF）时，更适当的质量因素Q值定义由3-dB频宽（BW）来决定如下式：

                                                                                                           (2.13)

此外，常被运用在分布式组件的第三种质量因素定义，由电感在自振频率时的输入电抗对频率的变化率来决定，定义如下：

                                                                                                 (2.14)

在微波电路运用上，若是电感操作的频率远低于自振频率时，质量因素也常以电感实际的电感抗与理想电感抗的比值来定义，称为有效质量因素，定义如下：

                                                                               (2.15)

其中，由于与分别代表电感输入阻抗的实部与虚部。

(九)    其它参数

1.    最大电流量（Maximum Current Rating）：电感所能承受不烧毁的最大直流电流。此值由导体的材质、形状、圈数与周围的环境共同决定。

2.    最大功率量（Maximum Power Rating）：电感所能安全承受的最大射频（RF）功率。此值受电感的Q值、体积、材质、温度以及周围环境等影响。

3.    操作温度范围（Operating Temperature Range）：电感所能安全操作的温度范围。

4.    温度系数（Temperature Coefficient）：电感受温度改变因而电感量改变的系数，单位为ppm/°C。

二、电感结构与分析

针对不同的频段、应用、材质与制程，射频电感的几何结构不尽相同，其形状可以是一段电线、一条带线、单循环、回绕线（Meander Line）或是螺旋结构；例如，平面式微带电感，由于其一般运用上多不大于2 nH，因此常以回绕线制作以减少占用体积。

电感的等效电路模型如图2.3。一般而言，微带线段与单循环电感以图2.3(a)之等效电路模型即可；而螺旋结构电感因为循环之间的寄生电容效应明显，通常以图2.3(b)之模型描述。

  (a)                                              (b)

图2.3 电感的等效电路模型

以下各小节将分别讨论微带线段、圆形单循环与螺旋结构等三种常见的平面电感结构，并分析等效电路。

(一)    微带线段电感

微带线段如图2.4。图中，W、l与t，分别代表微带电感的线宽、线长以及导体厚度；此外，微带线基板厚度以h表示，有效介电系数为，导体的单位电阻以R_sh表示。

图2.4 微带线段电感结构

其对应的等效电感L，串联电阻R_s，以及与接地间的电容C₁，依据经验公式可表示如下：

                                           (2.16)

                                                                                               (2.17)

                                                                         (2.18)

以上各长度以微米为单位。其中，

                               ,                                   (2.19)

                              ,                                  (2.20)

(二)    圆形单循环电感

圆形单循环电感如图2.5。图中，W与a分别代表圆形循环的线宽以及循环的平均半径；此外，基板厚度以h表示，有效介电系数为，导体厚度仍以t表示，导体的单位电阻以R_sh表示。

图2.5圆形单循环电感结构

其对应的等效电感L，串联电阻R_s，以及与接地间的电容C₁，依据经验公式可表示如下：

                                               (2.21)

                                                                                               (2.22)

                                                                               (2.23)

以上半径a仍以微米为单位。

此外，与可以(2.19)与(2.20)式求得。

(三)    螺旋电感

螺旋结构电感如图2.6。图中，W、s、与分别代表螺旋电感的线宽、线距、内圈直径以及外圈直径；此外，螺旋圈数以n表示，基板厚度以h表示，有效介电系数为，导体厚度仍以t表示，导体的单位电阻以R_sh表示。

图2.6 螺旋电感的结构

等效电路如图2.3(b)，其对应的等效电感L，串联电阻R_s，以及两端点间的电容C₃，依据经验公式可表示如下：

                                                                           (2.24)

                                                                                               (2.25)

                                                                             (2.26)

其中, 可以由式(2.19)求得；此外，

                                                                                                       (2.27)

                                                                                                       (2.28)

                                                                                       (2.29)

三、电感设计与模拟

近年来，由于电磁仿真软件的功能随着计算机的运算速度增加而日益强大，也使得高频电路仿真结合绘图功能，提升为以三维几何（3D）结构模式应用的设计趋势，无论是平面式的组件与电路，或是集成电路运用的组件、电路与系统设计，均可以利用此类仿真软件设计与分析，这对于电路制作的成本可以大量的降低。

常用的电磁仿真软件如Ansoft公司的Designer、HFSS与Maxwell等，Agilent公司的ADS，Zeland Software公司的IE3D等，均可以3D的绘图模式设计各种高频组件或电路，甚至可以整合不同的实体组件与电路成为完整的系统，并分析的各项效能。

本节将以IE3D软件为例，以设计与仿真过程的图片，说明如何设计与分析平面式的螺旋电感。

(一)    IE3D软件使用步骤

1.        开启布局编辑器

2.        开启新档

3.        开启介质基板编辑器

4.        设定介质层的厚度、介电系数与正切损耗

5.        点选窗口范围与网格线间距编辑器

6.        设定网格线间距与窗口范围

(二)    以IE3D设计螺旋电感

1.        点选螺旋电感编辑器

2.        设定方形螺旋电感知外框、线宽、线距与线段数目

3.        最大化显示组件全部

(三)    以IE3D仿真分析组件特性

1.        定义双端口组件仿真型式

2.        设定双端口组件之输入与输出为50Ω馈入

3.        设定双端口组件之输入与输出位置

4.        另存新檔

5.        开启仿真窗口

6.        设定分析的最高频率、频率范围及频率间隔

(四)    储存分析分析结果之散射参数（S2P）

1.        转换仿真结果为数据形式

2.        选取包含实部与虚部的所有S参数

3.        显示所有S参数，以另存成为S2P檔

四、电感分析与量测

如同电感设计依据应用、材质与制程等而有所不同，完成制作的电感也必须依不同状况考虑其特性，以因应各种电路应用；例如，制作完成的电感须要经由量测结果以建立其等效电路模型，如此才可以因应不同频段的应用需求。经由量测结果以获得等效电路模型中各组件的等效值，这个过程称为参数萃取（Parameter Extraction）。

制作完成的电感组件，其性能必须经由高频向量网络分析量测相关的数据，例如散射参数（S-parameter）、史密斯图（Smith Chart），以便萃取其等效电路的组件参数，作为提供给其它使用者设计与分析用的电路模型。

本节将针对以硅芯片材质为例，利用本章前一节以仿真软件设计分析所获得的相关数据，结合参数萃取的理论，萃取电感等效电路的各个参数。

(一)    硅芯片电感的等效电路

图2.7为硅芯片电感的常用的等效电路模型，其组件等效电路模型与图2.3(b)相当接近，其中包含螺旋电感的主要电感值L_s，各循环间的电容C_p，导体电阻R_s，此外，组件两端的导体层与接地面之间，包含二氧化硅绝缘层的并联电容C_sub，以及硅基板间的介质电容及电阻。

图2.7 硅芯片电感的等效电路

图2.7的电感等效电路可以简化为如图2.8之互易性双端口π型电路。

图2.8 互易性双端口π型等效电路

图2.7对应于图2.8的各分支导纳值表示如下：

                                                                               (2.30)

                                                               (2.31)

                                                             (2.32)

当馈入端2短路时，由图2.8可知，输入导纳

                                                                                       (2.33)

同时，当馈入端2短路时，由图2.7可知，输入导纳

                                       (2.34)

(二)    硅芯片电感的等效电路组件萃取

1.        R_s的萃取：当频率f趋近于零，可由(2.33)与(2.34)式的实部求得

                                         ，                                            (2.35)

2.        L_s的萃取：由(2.33)与(2.34)式，当频率f趋近于零，

                                     ，                                        (2.36)

3.        C_p的萃取：由(2.30)式，当电路的操作频率达到自振频率，此时的虚部为零，

                                       ，                                          (2.37)

4.        R_sub1的萃取：当电路的操作频率达到自振频率（此时组件的实部最大，而虚部为零时），电路为纯电阻性，

                          ，                             (2.38)

5.        C_ox1的萃取：由(2.31)式，

                                                               (2.39)

                               ，                                  (2.40)

                                ，                                   (2.41)

6.        C_sub1的萃取：由(2.38)式，令频率趋近于无穷大也可求得

                                 ，                                    (2.42)

                         ，                             (2.43)

    当C_ox1为已知数，C_sub1也可求得。

7.        R_sub2、C_ox2与C_sub2的求法与R_sub1、C_ox1与C_sub1相同，但须将所有参数改为。