原创 （狂补数学2）使用MATLAB解线性方程

一：基本概念

1．  N级行列式A：|A|等于所有取自不同行不同列的n个元素的积的代数和。

2．  矩阵B：矩阵的概念是很直观的，可以说是一张表。

3．  线性无关：一向量组(a,a,…. a)不线性相关，即没有不全为零的数k,k,……kn使得：k1* a+k2* a+…..+kn*an=0

4. 秩：向量组的极在线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩。

5．矩阵B的秩：行秩，指矩阵的行向量组的秩；列秩类似。记：R(B)

6．一般线性方程组是指形式：……（1）

其中x1,x2,…….xn为n个未知数，s为方程个数。记：A*X=b

7．  性方程组的增广矩阵：=

8. A*X=0 …. （2）

二：基本理论

    三种基本变换：1，用一非零的数乘某一方程；2，把一个方程的倍数加到另一个方程；3互换两个方程的位置。以上称初等变换。

消元法（理论上分析解的情况，一切矩阵计算的基础）

首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式”0=0”（如果出现的话）去掉，1：如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零数，那么方程组无解；否则有解，在有解的情况下，2：如果阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解，3：如果阶梯形方程组中方程的个数r小于是未知量的个数，那么方程组就有无穷个解。

用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，相当于用初等行变换化增广矩阵成阶梯形矩阵。化成阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还是无解，在有解的情形下，回到阶梯形方程组去解。

定理1：线性方程组有解的充要条件为：R（A）=R（）

线性方程组解的结构：

1：对齐次线性方程组，a: 两个解的和还是方程组的解；b: 一个解的倍数还是方程组的解。定义：齐次线性方程组的一组解u1,u2,….ui
称为齐次线性方程组的一个基础解系，如果：齐次线性方程组的任一解都能表成u1,u2,….ui的线性组合，且u1,u2,….ui线性无关。

2：对非齐次线性方程组

（I）                  
方程组（1） 的两个解的差是（2）的解。

（II）              
方程组（1） 的一个解与（2）的一个解之和还是（1）的解。

定理2 如果r0是方程组（1）的一个特解，那么方程组（1）的任一个解r都可以表成：

r=ro+v…….(3)

其中v是（2）的一个解，因此，对方程（1）的任一特解ro,当v取遍它的全部解时，(3) 就给出了（1）的全部解。

三：基本思路

线性方程的求解分为两类：一类是方程组求唯一解或求特解;一类是方程组求无穷解即通解。

I）             
判断方程组解的情况。1：当R（A）=R（）时 有解（R（A）=R（）>=n唯一解，R（A）=R（）〈n,有无穷解〉；2：当R（A）+1=R（）时无解。

II）         
求特解；

III）       求通解(无穷解), 线性方程组的无穷解 = 对应齐次方程组的通解+非齐次方程组的一个特解；

注：以上针对非齐次线性方程组，对齐次线性方程组，主要是用到I)、III)步！

四：基本方法

基本思路将在解题的过程中得到体现。

1．（求线性方程组的唯一解或特解），这类问题的求法分为两类：一类主要用于解低阶稠密矩阵 —— 直接法；一类是解大型稀疏矩阵 —— 迭代法。

1．1利用矩阵除法求线性方程组的特解（或一个解）

方程：AX=b，解法：X=A\b，(注意此处’\’不是’/’)

例1-1 
求方程组的解。

解:  A =;=；b=(1,0,0,0,1)’

由于>>rank(A)=5,rank()=5  %求秩，此为R（A）=R（）>=n的情形，有唯一解。       >>X= A\b    %求解 X =(2.2662,
-1.7218, 1.0571,-0.5940, 0.3188)’ 或用函数rref求解，>>sv=rref(A:b);所得sv的最后一列即为所要求的解。

1．2 利用矩阵的LU、QR和cholesky分解求方程组的解 ，这三种分解，在求解大型方程组时很有用。其优点是运算速度快、可以节省磁盘空间、节省内存。

I) LU分解又称Gauss消去分解，可把任意方阵分解为下三角矩阵的基本变换形式（行交换）和上三角矩阵的乘积。即A=LU，L为下三角阵，U为上三角阵。

则：A*X=b        变成L*U*X=b

所以X=U\(L\b)   这样可以大大提高运算速度。命令  [L，U]=lu (A)

在matlab中可以编如下通用m 文件：

在Matlab中建立M文件如下

% exp1.m

A;b;

[L，U]=lu (A);

X=U\(L\b)

II）Cholesky分解

若A为对称正定矩阵，则Cholesky分解可将矩阵A分解成上三角矩阵和其转置的乘积，即：  其中R为上三角阵。

方程  A*X=b  变成  所以 

在Matlab中建立M文件如下

% exp2.m

A;b;

[R’，R]=chol(A);

X=R\(R’\b)

III）QR分解

对于任何长方矩阵A，都可以进行QR分解，其中Q为正交矩阵，R为上三角矩阵的初等变换形式，即：A=QR

方程  A*X=b  变形成   QRX=b

所以   X=R\(Q\b)

上例中  [Q, R]=qr(A)

X=R\(Q\B)

在Matlab中建立M文件如下

% exp3.m

A;b;

[Q，R]=qr(A);

X=R\(Q\b)

2．求线性齐次方程组的通解(A*X=0)

在Matlab中，函数null用来求解零空间，即满足A·X=0的解空间，实际上是求出解空间的一组基（基础解系）。

在Matlab中建立M文件如下

% exp4.m

format
rat    %指定有理式格式输出

A;b=0;

r=rank(A);

bs=null(A，‘r’); %一组基含(n-r)个列向量

% k,k,……,k

% X= k*bs(:,1)+ k*bs(:,2)+……+ k*bs(:,n-r) 方程组的通解

pretty(X)     %让通解表达式更加精美

3  求非齐次线性方程组的通解（A*X=b）

非齐次线性方程组需要先判断方程组是否有解，若有解，再去求通解。

因此，步骤为：

第一步：判断AX=b是否有解，(利用基本思路的第一条)

若有解则进行第二步

第二步：求AX=b的一个特解

第三步：求AX=0的通解

第四步：AX=b的通解为： AX=0的通解加上AX=b的一个特解。

在Matlab中建立M文件如下

% exp4.m

clear all

A;b;                  %输入矩阵A,b

[m,n]=size(A);

R=rank(A);

B=[A b];

Rr=rank(B);

format rat

if R==Rr&R==n          % n为未知数的个数，判断是否有唯一解

x=A\b;

elseif R==Rr&R<n      %判断是否有无穷解

x=A\b                 %求特解

C=null(A,'r')         %求AX=0的基础解系,所得C为n-R列矩阵，这n-R列即为对

%应的基础解系

                     
% 这种情形方程组通解xx=k(p)*C(:,P)(p=1…n-R)

else X='No solution!' % 判断是否无解

end

参考文献：

1．<<高等代数>>,北京大学数学系编，1978

2．〈〈Matlab6.0数学手册〉〉, 蒲俊、吉家锋、伊良忠编著，2002